Geometry Box, WB Primary TET: আজকের প্রতিবেদনে জ্যামিতি বিষয়ক কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্য তুলে ধরা হয়েছে, যে তথ্যগুলি প্রাইমারি টেট, ডব্লিউ.বি.সি.এস, রেল, ব্যাংক, পোস্ট অফিস, এস.এস.সি, নেট প্রিলিমিনারি, সহ আরো বিভিন্ন চাকরির পরীক্ষা বা প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য খুবই উপযোগী।
এই প্রতিবেদনটি বিভিন্ন চাকরির পরীক্ষা বা প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য খুবই উপযোগী।
Geometry Box, WB Primary TET
জ্যামিতিক বিষয়ক 68টি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য
- কোনো চতুর্ভুজের প্রতিটি জোড়া বিপরীত বাহু একে অপরের সমান হলে সেটি হবে একটি সামান্তরিক।
- যদি কোনো চতুর্ভুজের প্রতিটি জোড়া বিপরীত কোণ পরস্পর সমান হয় তাহলে সেটা হবে একটি সামান্তরিক।
- কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় একে অপরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে সেটি হবে একটি সামান্তরিক।
- যে-কোনো সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি সমান হয়। যে-কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে যে-কোনো একটি বাহুকে দু-দিকে বাড়ালে উৎপন্ন হওয়া বহিস্থ কোণদ্বয়ের যোগফল 180° বা দুই সমকোণ থেকে বেশি হবে।
- বাইরের কোনো বিন্দু হতে যে-কোনো একটি সরলরেখার উপর একের বেশি সমান সরলরেখা আঁকা যায় না।
- যে সামান্তরিকের দুটি কর্ণ সমান সেটি একটি আয়তক্ষেত্র।
- যে-কোনো রম্বসের কর্ণদুটি একে অপরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- তিন বা তার অধিক সমান্তরাল সরলরেখা দিয়ে ছিন্ন কোনো ভেদকের বিভাগগুলি একে অপরের সমান হলে, ওই সমান্তরাল সরলরেখাগুলি দিয়ে ছিন্ন অন্য যে-কোনো ভেদকের অনুরূপ ভাগগুলিও একে অপরের সমান হবে।
- কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অন্য এক বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা টানলে উক্ত সরলরেখা দ্বিতীয় বাহুর অর্ধেক হবে ও তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
- যে-কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখা উক্ত ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর অর্ধেক ও সমান্তরাল হবে।
- তিনটি সরলরেখার যে-কোনো দুটি একে অপরের সমান্তরাল। এদের যে-কোনো দুটি ছেদকের প্রতিটির খণ্ডিত অংশদ্বয় সমান হবে। সরলরেখা তিনটি একে অপরের সমান্তরাল হবে।
- কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরস্পর যুক্ত করা হলে উৎপন্ন হওয়া চতুর্ভূর্জটি হবে একটি সামান্তরিক এবং সামান্তরিকটির পরিসীমা চতুর্ভুজটির কর্ণদুটির যোগফলের সমান হবে।
- একই ভূমির উপর ও একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগলের ভেতরে অবস্থানকারী সামান্তরিকের ক্ষেত্রফুল একে অপরের সমান হবে।
- একটি সামান্তরিক ও একটি ত্রিভুজ একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল সরলরেখা দুটির ভিতর অবস্থান করলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক হবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।
- একই ভূমির উপর ও ভূমির একই দিকে অবস্থানকারী সমান সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজগুলি একই সমান্তরালদ্বয়ের ভেতরে অবস্থান করবে।
- একই ভূমির উপর ও একই সমান্তরাল সরলরেখা দুটির ভিতর অবস্থানকারী ত্রিভুজগুলিকে ক্ষেত্রফল একে অপরের সমান।
- ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =1/2 × ভূমি × উচ্চতা।
- সমবাহু ত্রিভুজের ভেতরের কোনো বিন্দু থেকে বিপরীত দিকের বাহুর উপর আঁকা লম্বদৈর্ঘ্যের যোগফল ত্রিভুজটির উচ্চতার সমান।
- তিন অথবা তার বেশি সরলরেখা একে অপরকে ছেদ করলে তাদেরকে বলে সমবিন্দু সরলরেখা ও উক্ত ছেদবিন্দুটিকে বলা হয় সমপাতবিন্দু।
- যে-কোনো ত্রিভুজের বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুতে আঁকা লম্বগুলি সমবিন্দু বা ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্বসমদ্বিখণ্ডকত্রয় সমবিন্দু।
- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুগুলির উপর লম্ব তিনটি সমবিন্দু হয়। ত্রিভুজের কোণসমূহের অন্তর্দ্বিখণ্ডকত্রয় সমবিন্দু হয়ে থাকে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি সমবিন্দু হয়ে থাকে।
- সব ত্রিভুজের মধ্যমা দুটি সমান হলে ত্রিভুজটি হবে সমদ্বিবাহু।
- সকল ত্রিভুজের যে-কোনো দুটি মধ্যমা একসঙ্গে তৃতীয় মধ্যমা থেকে বড়ো হবে।
- সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজিয়ামের শীর্ষবিন্দুসমূহ সমবৃত্তস্থ হয়ে থাকে।
- ব্যাস নয় এরকম কোনো জ্যা-কে যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোনো সরলরেখা সমদ্বিখণ্ডিত করে তবে উক্ত সরলরেখা জ্যা-এর উপর লম্ব হবে।
- কোনো বৃত্তকে কোনো সরলরেখার দ্বারা দুইয়ের বিন্দুতে ছেদ করা সম্ভব নয়।
- কোনো বৃত্তের দুটি জ্যা পরস্পর সমান্তরাল হলে তাদের মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা হবে কেন্দ্রগামী।
- ব্যাস ব্যতীত কোনো জ্যা-এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে আঁকা লম্ব উক্ত জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
- যদি দুটিই বৃত্তের ব্যাস না হয়, তবে বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদী জ্যা একে অপরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
- নির্দিষ্ট কোনো বৃত্তের সমান জ্যা সকল কেন্দ্র থেকে সমান দূরবর্তী হবে।
- কোনো একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের একই বৃত্তচাপের উপরে অবস্থানকারী কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ হবে।
- একই বৃত্তাংশস্থ সব কোণগুলির মান একই হবে।
- বৃত্তের সমান সমান চাপের উপরে অবস্থানকারী পরিধিস্থ সব কোণই সমান। বিপরীতভাবে বৃত্তের একের অধিক পরিধিস্থ কোণ সমান হলে উক্ত কোণগুলি যে যে চাপের উপর অবস্থিত উক্ত চাপগুলিও একে অপরের সমান হবে।
- দুটি বিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশ যদি তার একই দিকে অন্য দুটি বিন্দুতে দুটি সমান কোণ উৎপন্ন করে, তবে বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ হবে।
- নির্দিষ্ট কোনো বৃত্তে একই বৃত্তাংশে অবস্থানকারী সব কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হবে। অর্ধবৃত্ত থেকে বড়ো বৃত্তাংশস্থ কোণ হবে সূক্ষ্মকোণ। অর্ধবৃত্ত থেকে ছোটো বৃত্তাংশস্থ কোণ হবে স্থূলকোণ।
- যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে আঁকা বৃত্ত সবসময় সমকৌণিক বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে।
- একটি ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু থেকে ক্ষুদ্রতর বাহুদুটিকে ব্যাস ধরে আঁকা দুটি বৃত্তের ছেদবিন্দু অবস্থিত হবে তৃতীয় বাহুর উপরে।
- বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি একে অপরের সম্পূরক হবে।
- সমদ্বিবাহু একটি ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর যে-কোনোটিকে ব্যাস ধরে আঁকা বৃত্ত সমদ্বিখণ্ডিত করবে অসমান বাহুটিকে।
- বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক এবং উক্ত স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ একে অপরের সঙ্গে লম্বভাবে অবস্থান করবে।
- বৃত্তের উপরে অবস্থানকারী কোনো বিন্দুতে মাত্র একটি স্পর্শকেই আঁকা যায়। স্পর্শকের উপর স্পর্শবিন্দুতে আঁকা লম্ব বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করবে। • কোনো বৃত্তের বাইরে কোনো বিন্দু থেকে উক্ত বৃত্তে স্পর্শক আঁকা যায় দুটি।
- বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু থেকে আঁকা দুটি স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুদুটির সঙ্গে বাইরের বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ দুটি সমান ও তারা সমান কোণ সৃষ্টি করে কেন্দ্রে।
- বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু থেকে আঁকা স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণকে উক্ত বিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোগকারী সরলরেখা সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- কোনো বৃত্তের উপরে অবস্থিত দুটি বিন্দুতে আঁকা স্পর্শকদ্বয় যদি একে অপরকে ছেদ করে, তবে ছেদবিন্দু থেকে স্পর্শবিন্দু পর্যন্ত আঁকা রেখাংশের দৈর্ঘ্য সমান হবে।
- কোনো বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু থেকে আঁকা স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের অন্তদ্বিখণ্ডক হবে কেন্দ্রগামী।
- সাধারণ স্পর্শক: দুটি বৃত্তের প্রতিটিকেই যদি একটি সরলরেখা স্পর্শ করে তবে উক্ত সরলরেখাটিকে দুটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক বলে।
- যে সাধারণ স্পর্শকের একই দিকে দুটি বৃত্ত অবস্থিত হয়, তাকে বলে সরল সাধারণ স্পর্শক।
- যে সাধারণ স্পর্শকের দুই দিকে বা বিপরীত দিকে দুটি বৃত্ত অবস্থিত, তাকে বলে তির্যক সাধারণ স্পর্শক।
- দুটি বৃত্ত যদি একে অপরকে স্পর্শ করে, তবে স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখার উপরে অবস্থান করবে।
- দুটি বৃত্ত যদি বহিঃস্পর্শ করে তবে তার কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফলের সমান হবে।
- দুটি বৃত্ত যদি একে অপরকে স্পর্শ করে তবে একটির কেন্দ্র এবং স্পর্শবিন্দুগামী সরলরেখা অন্য বৃত্তের কেন্দ্রের ভিতর দিয়ে যাবে।
- যদি দুটি বৃত্ত অন্তঃস্পর্শ করে তবে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের বিয়োগফলের সমান হবে।
- দুটি ত্রিভুজের যদি ভূমি একই সুরলরেখায় অবস্থান করে ও ত্রিভুজদুটির ভূমির বিপরীত শীর্ষবিন্দুদয় একই হয়, তবে ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির অনুপাতের সমান হবে।
- যে-কোনো ত্রিভুজের যে-কোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অন্য বাহুদ্বয়কে অথবা বর্ধিত বাহুকে সমানুপাতে বিভাজিত করে।
- যে সরলরেখা কোনো ত্রিভুজের বাহুদ্বয়কে সমানুপাতকে বিভাজিত করে সেটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হবে।
- যে-কোনো সদৃশকোণী দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী। বিপরীতভাবে বলা যায় যে বাহুগুলি সমানুপাতী হলে ত্রিভুজদ্বয়ও সমানুপাতী হবে।
- দুটি ত্রিভুজকে সদৃশকোণী বলা যাবে যদি দুটি ত্রিভুজের একটির দুটি কোণ অপরটির দুটি কোণের সমান হয়।
- দুটি সমবাহ ত্রিভুজ অবশ্যই সদৃশকোণী হবে।
- যে-কোনো ত্রিভুজের যে-কোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অন্য একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা আঁকলে সেটি তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে ও উক্ত সমান্তরাল সরলরেখাটির খণ্ডিত অংশ দ্বিতীয় বাহুটির অর্ধেক হবে।
- আমরা বলতে পারি (ক) সব বৃত্ত সদৃশ (খ) সব সমবাহু ত্রিভুজ সদৃশ (গ) সব বর্গক্ষেত্র সদৃশ।
- একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্র সদৃশকোণী হলেও তাদের বাহুগুলি কখনোই সমানুপাতী নয়। ফলে তারা সদৃশ নয়।
- এক রম্বস (বর্গক্ষেত্র নয়) এবং একটি বর্গক্ষেত্রের অনুরূপ বাহুগুলি সবসময় সমানুপাতী হয় কিন্তু তারা কখনোই সদৃশকোণী হবে না (কারণ, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ সমকোণ, কিন্তু বর্গক্ষেত্র ব্যতীত উক্ত রম্বসের একটি কোণও সমকোণ নয়)। ফলে এরা সদৃশ নয়।
- দুটি একই আকৃতির চতুর্ভুজ, যেমন দুটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে বলা যায় তারা সদৃশকোণী হলেও সদৃশ নাও হতে পারে।
- যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু হতে অতিভুজের উপর লম্ব আঁকলে উক্ত লম্বের দুই পার্শ্বের ত্রিভুজ দুটি পরস্পর সদৃশ ও উক্ত ত্রিভুজগুলির মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ।
- সমকোণী যে-কোনো দুটি ত্রিভুজের একটি করে সূক্ষ্মকোণ যদি সমান হয় তবে অন্য সূক্ষ্মকোণ দুটিও সমান হবে, অর্থাৎ ত্রিভুজদুটি হবে সদৃশকোণী। ফলত উক্ত ত্রিভুজদুটির অনুরূপ বাহুগুলি হবে সমানুপাতী।
- কোনো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, কর্ণের উপর আঁকা বর্গক্ষেত্র উক্ত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ হবে।
প্রাথমিক টেট পরীক্ষার জন্য, গণিত পেটাগোজি প্রস্তুতি এবং মক টেস্টের জন্য এইখানে ক্লিক করুন