আজকের প্রতিবেদনে ‘Edu বাংলা‘ আপনাদের জন্য নিয়ে এসেছে Primary TET Math Practice Set pdf। সংখ্যা পদ্ধতি থেকে প্রায় 320 টির মতো এম.সি.কিউ কোয়েশ্চেন নিয়ে PDF টি তৈরি করা হয়েছে। তবে এই কোশ্চেনগুলি সমাধান করার জন্য যে সমস্ত ধারণা লাগবে সেটিও এই প্রতিবেদনে কিছুটা দেওয়া হল।
নিচের ডাউনলোড অপশন এ ক্লিক করে PDF ফাইলটি ডাউনলোড করে নেয়া যাবে চলুন শুরু করা যাক।
সংখ্যা তত্ত্বের ভূমিকা
পরিমাণকে প্রতীক তথা সংখ্যার আকারে প্রকাশ করার পদ্ধতি থেকেই গণিতের উৎপত্তি। সংখ্যার ইতিহাস মানব সভ্যতার ইতিহাসের মতোই প্রাচীন। সংখ্যা হল পরিমাপের একটি বিমূর্ত ধারণা। বর্তমানে গণিতের জন্ম হয়েছে গণনা থেকে। গণনার ধারণা থেকেই প্রথম সংখ্যা ব্যবহারের প্রয়োজনীয়তা অনুভূত হয়েছিল, যদিও সংখ্যার জন্ম হয়েছে অনেক সময়ের ব্যবধানে। সংখ্যাভিত্তিক গণিতের সৃষ্টি খ্রিস্টপূর্ব 2000 বছর আগে। এরপর নানা সময়ে নানা সভ্যতার হাত ঘুরে অধুনা সংখ্যা ও সংখ্যারীতি একটি সর্বজনীন রূপ ধারণ করেছে। অর্থাৎ সমাজ ও সভ্যতার ক্রমবিকাশের সঙ্গে সঙ্গে সংখ্যার ধারণার বিবর্তন ঘটেছে। গণিতের মূল ধারণা হল সংখ্যা।
সংখ্যার ধারণা (Concept of Number)
প্রত্যেক সংখ্যার মধ্যে তিনটি ধারণা বর্তমান। সেগুলি হল— গণনা করার ধারণা, দলগত ধারণা ও ক্রমবাচক ধারণা। আমরা সংখ্যার সাহায্যে গণনা করি ও গণনার শেষে যে সংখ্যা পাই তা হল সংখ্যার দলগত মান। আবার গণনা করার সময় যে ক্রমে সংখ্যাগুলি বলা হয় তা হল সংখ্যাগুলির ক্রমবাচক মান।
মানব সভ্যতার শুরুতেই মানুষ তার দৈনন্দিন চাহিদা মেটাতে গিয়ে গণনার প্রয়োজন অনুভব করে। প্রথম অবস্থায় বিভিন্ন প্রতীক, সমান আকারের একই প্রকার বস্তু বা কাঠি এবং মাটিতে বা পাথরে দাগ দিয়ে প্রাণী বা বস্তুর হিসাব রাখা হত। কিন্তু সভ্যতার বিকাশের সঙ্গে সঙ্গে বেশি সংখ্যক প্রাণী বা দ্রব্যের হিসাব রাখার জন্য অন্য ধরনের প্রতীকের প্রয়োজন দেখা দেয়। সেখান থেকেই গণনারও জন্ম হয় ও ক্রমান্বয়ে সৃষ্টি হয় এখনকার ব্যবহৃত সংখ্যা প্রতীক।
Primary TET Math Practice Set pdf Download
সংখ্যার গণনার প্রয়োজনে প্রাচীন ভারতবর্ষের গণিতবিদগণ সর্বপ্রথম শূন্য ও দশভিত্তিক স্থানীয় মান পদ্ধতির প্রচলন করেন, যা সংখ্যা বর্ণনায় একটি উল্লেখযোগ্য ঘটনা। ভারতীয় ও চিনের গণিতবিদগণ শূন্য, ধনাত্মক, বাস্তব, পূর্ণ সংখ্যা ও ভগ্নাংশের ধারণার বিস্তৃতি ঘটান যা মধ্যযুগের আরবীয় গণিতবিদরা সংখ্যা জগতের ভিত্তি হিসেবে গ্রহণ করে। কিন্তু দশমিক ভগ্নাংশের সাহায্যে সংখ্যা প্রকাশের কৃতিত্ব আরবীয় গণিতবিদদের বলে মনে করা হয়। পরবর্তীকালে, তাঁরাই একাদশ শতাব্দীতে সর্বপ্রথম বীজগাণিতীয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হিসেবে বর্গমূলের আকারে অমূলদ সংখ্যার প্রচলন করেন।
খ্রিস্টপূর্ব 50 অব্দে গ্রিক গণিতবিদরা জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কনের প্রয়োজনে অমূলদ সংখ্যা বিশেষ করে 2-এর বর্গমূলের প্রয়োজনীয়তা উপলব্ধি করেছিলেন। ঊনবিংশ শতাব্দীতে ইউরোপীয় গণিতবিদরা বাস্তব সংখ্যাকে প্রণালীবদ্ধ করে প্রকাশ করেন।
সংখ্যারেখা (Number Line)
একটি রেখায় যে-কোনো একটি একক নির্ধারণ করে সংখ্যা স্থাপন করলে তাকে সংখ্যারেখা বলে । অর্থাৎ সংখ্যাকে সরলরেখার উপর বিন্দুর সাহায্যে জ্যামিতিক উপায়ে প্রকাশ করার পদ্ধতিকে বলা হয় সংখ্যারেখা। সংখ্যারেখা একটি সরলরেখা যা দু-দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত। এর মধ্যবিন্দুকে শূন্য ধরে ডানদিকে ধনাত্মক ও বামদিকে ঋণাত্মক সংখ্যাগুলিকে বসিয়ে জ্যামিতিক উপায়ে উপস্থাপন করা হয়।
সংখ্যারেখার বৈশিষ্ট্য (Characteristics of Number line) :
সংখ্যারেখার একটি অংশ ডানদিকে ও অপর অংশটি বামদিকে সীমাহীনভাবে বিস্তৃত। • সংখ্যারেখার 0 বিন্দুর দ্বারা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কোনো দিকই নির্দেশ করে না।
সংখ্যারেখার (0 বিন্দু থেকে ডান দিককে ধনাত্মক ও বাম দিককে ঋণাত্মক ধরা হয়।
- সংখ্যারেখায় সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার সঙ্গে রেখাস্থ সরল বিন্দুর এক-এক মিল রয়েছে।
- মূলদ ও অমূলদ যে-কোনো সংখ্যারই সংখ্যারেখায় একটি সুনির্দিষ্ট প্রতিরূপী বিন্দু রয়েছে।
গণিতের সংক্ষিপ্ত ইতিহাস, গণিত পেডাগোজি সম্পর্কে ধারণা পেতে এখানে ক্লিক করুন।
সংখ্যা পদ্ধতি, অঙ্ক ও অঙ্কপাতন (Number System, Numeral and Notation)
সংখ্যা পদ্ধতি হল কোনো সংখ্যাকে উপস্থাপন করার জন্য নির্দিষ্ট লিখিত রূপ বা পদ্ধতি যেখানে কিছু সংখ্যক নির্দিষ্ট সংখ্যা প্রতীক ব্যবহার করা হয়। সকল প্রতীকসমূহকে সুনির্দিষ্ট নিয়মে সজ্জিতকরণের মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যামান প্রকাশ করার পদ্ধতি বা রীতিকে সংখ্যা পদ্ধতি বলা হয়।
গণিতে দশটি প্রতীক দ্বারা সকল সংখ্যাকে প্রকাশ করা হয়। এই প্রতীকগুলি হল— 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0। এইগুলিকে অঙ্ক (Numeral) বলা হয়। এগুলি আবার এক একটি সংখ্যাও। 9 অপেক্ষা বড়ো সব সংখ্যাকেই দুই বা ততোধিক অঙ্ককে পাশাপাশি বসিয়ে প্রকাশ করা হয়। কোনো সংখ্যাকে অঙ্ক দ্বারা প্রকাশ করার পদ্ধতিকে অঙ্কপাতন (Notation) বলা হয়। অঙ্কপাতনে দশটি প্রতীক বা অঙ্ক ব্যবহার করা হয়।
এই পদ্ধতিতে কয়েকটি অঙ্ক পাশাপাশি বসিয়ে একটি সংখ্যা প্রকাশ করলে, সংখ্যাটির সর্বাপেক্ষা ডানদিকের অঙ্কটি এর স্বকীয় মান প্রকাশ করে। ডানদিক থেকে দ্বিতীয় অঙ্কটি এর স্বকীয় মানের দশগুণ অর্থাৎ তত দশক প্রকাশ করে। তৃতীয় অঙ্কটি এর দ্বিতীয় স্থানের মানের দশগুণ বা স্বকীয় মানের শতগুণ অর্থাৎ তত শতক প্রকাশ করে। এইরূপ কোনো অঙ্ক এক-এক স্থান করে বামদিকে সরে গেলে তার মান উত্তরোত্তর দশগুণ করে বৃদ্ধি পায়।
সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি (Radix or Base of Number System)
কোনো সংখ্যা পদ্ধতিতে ব্যবহৃত অঙ্কসমূহের বা প্রতীকসমূহের মোট সংখ্যাকে ওই সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি বলা হয়। যেমন—দশমিক বা ডেসিম্যাল পদ্ধতির ভিত্তি হল 10 কারণ এই পদ্ধতিতে 10 অঙ্ক বা প্রতীক (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0) রয়েছে। এ ছাড়া বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি হল 2 কারণ এই পদ্ধতিতে 2টি অঙ্ক বা প্রতীক (0, 1) রয়েছে। অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি হল ৪ কারণ এই পদ্ধতিতে ৪টি অঙ্ক বা প্রতীক (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) রয়েছে। হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি হল 16 কারণ এই পদ্ধতিতে 16টি অঙ্ক বা প্রতীক (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) রয়েছে।
স্থানীয় মান (Place Value):
যে-কোনো সংখ্যায় প্রতিটি অঙ্কের অবস্থানের জন্য একটি মান পাওয়া যায়, এই মানকে ওই অঙ্কের স্থানীয় মান বলা হয়। অর্থাৎ সংখ্যায় ব্যবহৃত অঙ্কগুলির মান তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে।
সংখ্যায় ব্যবহৃত কোনো অঙ্ক তার অবস্থানের জন্য যে সংখ্যা বা মান প্রকাশ করে, তাকে ওই অঙ্কের স্থানীয় মান বলা হয়।
বিভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতির ক্ষেত্রে স্থানীয় মানের তারতম্য হয়ে থাকে। যেমন— দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে—
কোনো সংখ্যার সর্বাপেক্ষা ডানদিকের অঙ্কের স্থানীয় মান নিজস্ব মান বা স্বকীয় মানের একক বা একগুণ।
ডানদিক থেকে দ্বিতীয় ঘরে অবস্থিত অঙ্কের স্থানীয় মান নিজস্ব মানের দশগুণ। তৃতীয় ঘরে অবস্থিত অঙ্কের স্থানীয় মান অঙ্কটির নিজস্ব মানের একশত গুণ। এইভাবে প্রতিটি ঘরের স্থানীয় মান তার পূর্ববর্তী ঘরের স্থানীয় মানের দশগুণ হারে বাড়তে থাকে।
উদাহরণ: 954 সংখ্যাটিতে ব্যবহৃত 9 অঙ্কের নিজস্ব মান নয়, 5 অঙ্কের নিজস্ব মান পাঁচ ও 4 অঙ্কের নিজস্ব মান চার। এবার, এদের স্থানীয় মানগুলি হল— 9 অঙ্কটি শতকের ঘরে অবস্থিত তাই এর স্থানীয় মান = 9 x 100 = 900 5 অঙ্কটি দশকের ঘরে অবস্থিত তাই এর স্থানীয় মান = 5 × 10 = 50 4 অঙ্কটি এককের ঘরে অবস্থিত তাই এর স্থানীয় মান = 4 × 1 = 4 .:. সংখ্যাটির মান 900+50+ 4 = 954
বাস্তব সংখ্যা (Real Number)
শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে তৈরি সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ শূন্য, ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সবই বাস্তব সংখ্যা। আবার অন্যভাবে বললে বলা যায় যে, যে সকল সংখ্যাকে সংখ্যারেখার দ্বারা প্রকাশ করা যায় তাদের বাস্তব সংখ্যা বলা হয়। বাস্তব সংখ্যার বিপরীতে আর-এক ধরনের সংখ্যা আছে যাদের অবাস্তব সংখ্যা (Imaginary Number) বলা হয়। আবার বাস্তব ও অবাস্তব অংশযুক্ত সংখ্যাকে জটিল সংখ্যা (Complex Number) বলা হয়। যা জটিল সংখ্যাতলের (Complex Number Plane) উপর যে-কোনো বিন্দু। এই তলে বাস্তব সংখ্যারেখার (Real Axis) সঙ্গে অবাস্তব সংখ্যারেখা (Imaginary Axis) লম্বভাবে অবস্থিত থাকে।
গণিতে জটিল সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যার একটি গাণিতিক সম্প্রসারণ হিসেবে গণ্য করা হয়। বাস্তব সংখ্যাসমূহের সঙ্গে কাল্পনিক একক i-কে যুক্ত করে জটিল সংখ্যা পাওয়া যায়। প্রতিটি জটিল সংখ্যাকেই ‘a + ib’ আকারে লেখা হয়, যেখানে a ও b বাস্তব সংখ্যা। a ও b -কে যথাক্রমে জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ ও কাল্পনিক অংশ বলা হয়।
বাস্তব সংখ্যার প্রকারভেদ (Types of Real Numbers)
বাস্তব সংখ্যাকে আমরা দুটি ভাগে ভাগ করতে পারি। সেগুলি হল1. মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers) 2. অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers)
মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers)
যেসব সংখ্যাকে আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q≠0, তাদের মূলদ সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ মূলদ সংখ্যা হল সেই সব বাস্তব সংখ্যা যাদের P/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q≠0।
মূলদ সংখ্যাকে দুটি সংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায়। সকল পূর্ণসংখ্যা ও সকল ভগ্নাংশ সংখ্যা মূলদ সংখ্যার অন্তর্গত।
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers)
যেসব সংখ্যাকে আকারে প্রকাশ করা যায় না যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q≠0, তাদের অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ যেসব বাস্তব সংখ্যা মূলদ নয় তাদের অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। অমূলদ সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না। এরা ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে। কিন্তু এরা অসীম অপৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা হয়। অর্থাৎ দশমিক চিহ্নের পরের সংখ্যাগুলি নির্দিষ্টভাবে বিন্যস্ত নয়। কখনও এদের সঠিক মান পাওয়া যায় না। পূর্ণবর্গ নয় এমন যে-কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা।
মূলদ সংখ্যার প্রকারভেদ (Types of Rational Numbers)
মূলদ সংখ্যাকে আমরা দুটি ভাগে ভাগ করতে পারি। সেগুলি হল –
1. পূর্ণসংখ্যা ( Integers).
2. ভগ্নাংশ (Fractions).
পূর্ণসংখ্যা (Integers )
শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যাসমূহকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ যে সমস্ত সংখ্যার কোনো ভগ্নাংশ থাকে না তাদের পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। পূর্ণসংখ্যার সেট অসীম।
সকল পূর্ণসংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়। Z = {x | x =…. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
[Z চিহ্নটি জার্মান শব্দ ‘Zahlen’ থেকে এসেছে যার অর্থ হল ‘সংখ্যা’]
Primary TET Math Practice Set pdf Download
পূর্ণসংখ্যার প্রকারভেদ (Types of Integers)
পূর্ণসংখ্যাকে আমরা দুটি ভাগে ভাগ করতে পারি। সেইগুলি হল – (ক) অখণ্ড সংখ্যা (Whole Numbers) (খ) ঋণাত্মক সংখ্যা (Negative Numbers)
(ক) অখণ্ড সংখ্যা (Whole Numbers):
শূন্যসহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাসমূহকে অখণ্ড সংখ্যা বলা হয়।
সকল অখণ্ড সংখ্যার সেটকে W দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
W = { x | x= 0, 1, 2, 3, …}
অখণ্ড সংখ্যা শূন্য ও সকল ধনাত্মক সংখ্যা বা স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা গঠিত।
শূন্য (Zero): শূন্যকে সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যার একটি সীমারেখা হিসেবে কল্পনা করা হয়। শূন্য একাধারে একটি সংখ্যা আবার একটি অঙ্ক। এটি এককভাবে মানের অস্তিত্বহীনতাকে প্রকাশ করে ও অন্যান্য সংখ্যার পিছনে বসে তাদের সঠিক অবস্থানকে প্রকাশ করে। কোনো সংখ্যা থেকে শূন্য যোগ বা বিয়োগ করলে প্রদত্ত সংখ্যার কোনো পরিবর্তন হয় না। কিন্তু কোনো সংখ্যাকে শূন্য দিয়ে গুণ করলে গুণফল শূন্য হয়। অর্থাৎ শূন্য হল একটি অধনাত্মক ও অঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Numbers):
শূন্য অপেক্ষা বড়ো পূর্ণসংখ্যাগুলিকে ধনাত্মক সংখ্যা বলা হয়। আর এই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলিকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলা হয়। যেসব পূর্ণসংখ্যা গণনার কাজে ব্যবহৃত হয় বা ক্রমনির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয় সেগুলি হল স্বাভাবিক সংখ্যা। স্বাভাবিক সংখ্যার সেট অসীম।