WB TET, History in Mathematics: আজকের প্রতিবেদনে আমরা বিভিন্ন সময়কার গণিতবিদদের গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক আবিষ্কার এবং এখনকার গণিতের গোড়া পত্তনের বিভিন্ন দিক গুলি আলোচনা করব। এই বিষয়গুলি আসন্ন টেট পরীক্ষার জন্য খুবই উপযোগী।
এছাড়াও জ্ঞানপিপাসু মানুষের কাছে গণিতের বিভিন্ন আবিষ্কারের নস্টালজিক সংক্ষিপ্ত ইতিহাস গণিতের প্রতি আপনার শ্রদ্ধাকে আরও বাড়িয়ে দিতে পারে। আসলে গণিত হল পরিমাণ, সংগঠন, পরিবর্তন ও স্থান বিষয়ক একটি বিজ্ঞান। গণিতের সর্বজনীন ভাষা ব্যবহার করে প্রাচীনকালে বিজ্ঞানীরা একে অপরের সঙ্গে ধারণার আদানপ্রদান করতেন। গণিত তাই বিজ্ঞানের ভাষা।
WB TET, History in Mathematics
সপ্তদশ শতক পর্যন্ত কেবল পাটিগণিত, বীজগণিত ও জ্যামিতিকে গাণিতিক শাস্ত্র হিসেবে গণ্য করা হত। সেসময় গণিত, দর্শন ও বিজ্ঞানের চেয়ে কোনো পৃথক শাস্ত্র ছিল না। গাণিতিক শাস্ত্রগুলির গোড়াপত্তন করেন প্রাচীন গ্রিক পণ্ডিতরা, মুসলিম পণ্ডিতেরা এগুলিকে সংরক্ষণ করেন এবং খ্রিস্টান গণিতবিদরা মধ্যযুগ পর্যন্ত ধরে রাখেন। সপ্তদশ শতকে আইজ্যাক নিউটন ও গটফ্রিড লাইবনিৎস-এর ক্যালকুলাস উদ্ভাবন এবং অষ্টাদশ শতকে অগুস্ত লুই কোশি ও তাঁর সমসাময়িক গণিতবিদদের উদ্ভাবিত কঠোর গাণিতিক বিশ্লেষণ পদ্ধতিগুলির উদ্ভাবন গণিতকে একটি একক, স্বকীয় শাস্ত্রে পরিণত করে। আইজ্যাক নিউটন (1643-1727) ক্যালকুলাসের জনক। ঊনবিংশ শতকের শুরুতে তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানের যে আধুনিক ধারা সূচিত হয়, সে-সংক্রান্ত গবেষণাগুলির ফলাফল প্রকাশের জন্য জটিল গাণিতিক মডেল উদ্ভাবন করা হয়। বিশুদ্ধ গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে গবেষণায় জোয়ার আসে। অন্যদিকে বিংশ শতকের মাঝামাঝি সময়ে কম্পিউটারের আবিষ্কার এর জন্য এ-সংক্রান্ত সাংখ্যিক পদ্ধতিগুলির গবেষণা বৃদ্ধি পায়।
পাটিগণিত এবং তার আবিষ্কার (Arithmetic and its inventions)
পাটিগণিত হল গণিতের অন্যতম পুরাতন একটি শাখা। যেখানে বস্তুর গণনা সংক্রান্ত হিসাবনিকাশ- যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের মাধ্যমে সরাসরি করা হয়। এ ছাড়াও কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যার বর্গ, বর্গমূল, ঘন, ঘনমূল ইত্যাদি বিষয়গুলি পাটিগণিতের অন্তর্গত।
পাটিগণিত শব্দটি প্রাচীন গ্রিক শব্দ ‘arithmos থেকে এসেছে। যার অর্থ হল সংখ্যা’ (Number)। গণিতের প্রাচীন ইতিহাস লক্ষ করলে দেখা যায় যে, খ্রিস্টপূর্ব 2000 বছর আগে মিশর ও ব্যাবিলনে প্রাথমিক পাটিগণিতের ব্যবহার শুরু হয়। পরবর্তীকালে রোমেও পাটিগণিতের ব্যবহার শুরু হয়। আধুনিক পাটিগণিতের ধারাবাহিক উন্নতি শুরু হয় প্রাচীন গ্রিকের হেলেনীয় সভ্যতায়। পরবর্তীকালে ইউক্লিডের হাত ধরে গ্রিসে পাটিগণিতের অনেক তত্ত্ব আবিষ্কৃত হয়।
সংখ্যা তত্ত্ব এবং শূন্য আবিষ্কারের ইতিহাস(WB TET, History in Mathematics)
সর্বপ্রথম সংখ্যাতত্ত্বের উৎপত্তি ভারতীয় উপমহাদেশেই হয়েছিল। প্রাচীন গ্রিকের সংখ্যাতত্ত্বের ধারণায় শূন্যের কোনো অবস্থান না থাকার জন্য তারা সংখ্যাকে উপস্থাপনের জন্য তিন ধরনের পৃথক সেট ব্যবহার করত। একটি সেট ব্যবহার করত একক স্থানীয় মানকে বর্ণনা করার জন্য, আর-একটি সেট ব্যবহার করত দশক স্থানীয় মানকে বর্ণনা করার জন্য এবং আর-একটি সেট ব্যবহার করত শতক স্থানীয় মানকে বর্ণনা করার জন্য। প্রাচীন চিনেও এই একই ধরনের সংখ্যাতত্ত্ব ব্যবহার করা হত। প্রাচীন মিশরীয় সংখ্যাগুলো ছিল দশভিত্তিক। তাদের সংখ্যাগুলো স্থানভিত্তিক না হয়ে চিত্রভিত্তিক ছিল। খ্রিস্টপূর্ব 1740 খ্রিস্টাব্দের দিকে মিশরীয়রা আয়কর ও হিসাবরক্ষণের জন্য শূন্যের ব্যবহার করত। তাদের চিত্রলিপিতে একটি প্রতীক ছিল যাকে ‘নেফর’ বলা হত, যার অর্থ দল ‘সুন্দর’। এই প্রতীকটি তারা শূন্য এবং দশকের ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করত। প্রাচীন মিশরীয় পিরামিড ও অন্যান্য স্থাপনায় এধরনের সংখ্যার ব্যবহার পাওয়া যায়।
শূন্যকে কোনো সংকেত বা প্রতীক হিসেবে ব্যবহার না করে সরাসরি সংখ্যা হিসেবে সফলভাবে ব্যবহারের ক্ষেত্রে প্রাচীন ভারতীয় গণিতবিদদের অবদান অনস্বীকার্য। খ্রিস্টপূর্ব নবম শতাব্দীর দিকে ভারতে বাস্তব সংখ্যা দ্বারা হিসাবনিকাশ করার সময় শূন্য ব্যবহৃত হত। এমনকি শূন্যকে ব্যবহার করে যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগও করা হত। খ্রিস্টপূর্ব পঞ্চম থেকে দ্বিতীয় শতকের মধ্যে ভারতীয় গণিতবিদ পিঙ্গলা ‘বাইনারি সংখ্যা দিয়ে হিসাবনিকাশ করার পদ্ধতি বের করেন।
আর্যভট্ট, ব্রহ্মগুপ্ত এবং শূন্যের মর্যাদা (Aryabhata, Brahmagupta and the status of zero)
ভারতীয় উপমহাদেশের গণিতবিদ আর্যভট্ট তাঁর বইয়ে শূন্য-এর কথা উল্লেখ করেছিলেন। শেষ পর্যন্ত শূন্যকে সংখ্যার পরিচয় দেন ব্রহ্মগুপ্ত। তার ‘ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত’ নামক বই-এ প্রথম শূন্যকে সংখ্যা হিসেবে মর্যাদা দেওয়া হয়। শূন্যের সঙ্গে যোগ, বিয়োগ, গুণের কথা এই বই-এ সঠিকভাবে দেওয়া হয়। এ ছাড়া মহাবীর এবং ভাস্কর শূন্য নিয়ে কাজ করেন।
বীজগণিত (WB TET, History in Mathematics)
বীজগণিত হল গণিতের একটি শাখা যেখানে গাণিতিক সমীকরণে অজানা সংখ্যাকে প্রতীকের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হয়। বীজগণিতে পাটিগণিতের মৌলিক অপারেশনগুলি যেমন – যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ ইত্যাদি কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা ব্যবহার না করেই সম্পাদন করা যায়। প্রাত্যহিক জীবনের নানা গণনায় বীজগণিত কাজে আসে। কোনো গাণিতিক সম্পর্ককে সাধারণ সূত্রের আকারে পাটিগণিতের সাহায্যে প্রকাশ করা সম্ভব নয়, পাটিগণিত এরকম কোনো সম্পর্কের একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ প্রকাশ করতে সক্ষম। কিন্তু বীজগণিতে প্রতীকের সাহায্যে কোনো গাণিতিক সম্পর্ক একটি সাধারণ রূপ প্রকাশ করা সম্ভব।
বীজগণিত আবিষ্কারের ইতিহাস(History of the Invention of Algebra)
বিবৃতি আকারে উনিশ শতকের শুরুতে বীজগণিত আধুনিক যুগে পদার্পণ করে। এর প্রথম উদ্ভব হয় গণিতবিদ আল-খোয়ারিজমি (Musa al-Khwarizmi)-র হাত ধরে। তাঁর লেখা ‘কিতাব আল জারর ওয়াল মুকাবিলা’ বইতে তিনি সর্বপ্রথম রৈখিক বীজগণিতের ধারণার অবতারণা করেন। সংখ্যা ও বহুপদী রাশি সমাধানের পরিবর্তে বীজগণিতবিদদের দৃষ্টি নিক্ষিপ্ত হয় বিভিন্ন বিমূর্ত গাণিতিক সংগঠনের উপর, যেগুলির আচরণবিধি অন্যান্য গাণিতিক বস্তুর আচরণের সঙ্গে সম্পর্কিত। এরকম একটি বিমূর্ত গাণিতিক সংগঠন হল গ্রুপ; গ্রুপ হচ্ছে কতকগুলি উপাদান ও অপারেশনের একটি সেট। ঊনিশ শতকের গণিতে গ্রুপ প্রধান একীকারক ধারণার একটিতে পরিণত হয়। ফরাসি গণিতবিদ এভারিস্ত গালোয়া (Evariste Galois), ব্রিটিশ গণিতবিদ আর্থার কেলি (Arthur Cayley), নরওয়েজীয় গণিতবিদ নিস হেনরিক আবেল (Niels Henrik Abel) গ্রুপসমূহের গবেষণায় উল্লেখযোগ্য অবদান রাখেন।
বীজগণিতের ব্যবহার সর্বপ্রথম ব্যাবিলনে শুরু হয়। সেইসময় ব্যাবিলনীয় বীজগণিত মিশরীয় বীজগণিত অপেক্ষা অনেক উন্নত ছিল। যে সময় মিশরীয় গণিতবিদ রৈখিক সমীকরণ নিয়ে গবেষণা করতেন তখন ব্যাবিলনে দ্বিঘাত এবং ত্রিঘাত সমীকরণ নিয়ে গবেষণা করা হত। খ্রিস্টপূর্ব 1650 খ্রিস্টাব্দে অহমেশ (Ahmes. x+ ax = b এবং x + ax + bx = c রৈখিক সমীকরণের সমাধান সূত্র আবিষ্কার করেন।
জ্যামিতি (WB TET, History in Mathematics)
জ্যামিতি হল গণিতের একটি শাখা যেখানে আকার ও আকৃতি এবং এতদসম্পর্কিত বিভিন্ন আঙ্গিকের পারস্পরিক সম্পর্ক নিয়ে গবেষণা করা হয়। জ্যামিতিকে স্থান বা জগতের (space) বিজ্ঞান হিসেবে গণ্য করা যায়। পাটিগণিতে যেমন গণনা সংক্রান্ত আমাদের বিভিন্ন অভিজ্ঞতা নিয়ে আলোচনা করা হয়, তেমনি জ্যামিতিতে স্থান বা জগৎ নিয়ে আমাদের অভিজ্ঞতার বর্ণনা ও ব্যাখ্যা দেওয়া হয়। প্রাথমিক জ্যামিতিকে কাজে লাগিয়ে দ্বিমাত্রিক বিভিন্ন আকারের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা এবং ত্রিমাত্রিক বস্তুসমূহের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করা হয়।
জ্যামিতির ব্যবহার সর্বপ্রথম প্রাচীন মেসোপটেমিয়া ও মিশরে শুরু হয়। প্রাচীন মিশরে প্রাথমিক জ্যামিতি মূলত দৈর্ঘ্য, উচ্চতা, কোণের পরিমাপ, পরিসীমা, আয়তন ইত্যাদি
নীতির উপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল যা সাধারণত জরিপ, নির্মাণ, জ্যোতির্বিজ্ঞান এবং বিভিন্ন কারুশিল্প বা কিছু ব্যাবহারিক প্রয়োজন মেটানোর জন্যই ব্যবহার করা হত। খ্রিস্টপূর্ব সপ্তম শতাব্দীতে গ্রিক গণিতবিদ থালেস (Thales) পিরামিডের উচ্চতাকে পরিমাপের জন্য জ্যামিতির ব্যবহার করেছিলেন। তিনিই সর্বপ্রথম অবরোহী চিত্তনকে জ্যামিতিতে ব্যবহার করেন। থালেস-এর এক বিখ্যাত ছাত্র ছিলেন পিথাগোরাস। পিথাগোরাস ও তাঁর সহযোগীরা ত্রিভুজ, বৃত্ত, অনুপাত ও কিছু কিছু ঘনবস্তুর জন্য অনেক নতুন নতুন উপপাদ্য প্রমাণ করেন। পিথাগোরাসের সবচেয়ে বিখ্যাত উপপাদ্যটি বর্তমানে তার নামে নামাঙ্কিত এবং বলে যে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ বাকি বাহুদ্বয়ের বর্গের যোগফলের সমষ্টি। গ্রিক গণিতবিদরা কেবল রুলার ও কাঁটা-কম্পাস ব্যবহার করে জ্যামিতিক চিত্র আঁকার সমস্যা (সম্পাদ্য) উদ্ভাবন করেছিল। সরল সমস্যাগুলির মধ্যে আছে কোনো প্রদত্ত রেখাংশের দ্বিগুণ দৈর্ঘ্যের রেখাংশ আঁকা, কোনো একটি কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করা ইত্যাদি। গ্রিকদের এ সংক্রান্ত তিনটি বিখ্যাত সমস্যা বহু বছর ধরে গণিতবিদেরা সমাধান করতে পারেননি –প্রদত্ত ঘনকের দ্বিগুণ আয়তনের ঘনক আঁকা, প্রদত্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলের বর্গ আঁকা, এবং একটি কোণকে সমত্রিখণ্ডিত করা। এগুলির কোনোটিই রুলার ও কাঁটাকম্পাসের সাহায্য নিয়ে আঁকা সম্ভব নয়। এদের মধ্যে বৃত্তের বর্গীকরণের অসম্ভাব্যতা ১৮৮২ খ্রিস্টাব্দের আগে প্রমাণিত হয়নি।
প্রাচীন ভারতের জ্যামিতি চর্চা(The practice of geometry in ancient India)
প্রাচীন ভারতেও জ্যামিতির চর্চা আমরা দেখতে পেয়ে থাকি সুলব সূত্র (Sulba Sutra) গ্রন্থে। ব্রম্ভগুপ্তের বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত সূত্রটিও জ্যামিতির জগতে ভারতীয় গণিতবিদদের একটি বড়ো অবদান। কিন্তু খ্রিস্টপূর্ব 300 খ্রিস্টাব্দে, ইউক্লিডের হাত ধরেই জ্যামিতির ইতিহাসে বৈপ্লবিক যুগের সূচনা হয়েছিল।
বিভিন্ন জ্যামিতিক ব্যবস্থার মধ্যে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সঙ্গেই আমরা বেশি পরিচিত। দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় জ্যামিতিকে অনেকসময় সমতলীয় জ্যামিতি এবং ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় জ্যামিতিকে অনেক সময় ঘন জ্যামিতি নামে ডাকা হয়। সমতলীয় জ্যামিতিতে কেবল সেইসব জ্যামিতিক বস্তু নিয়ে আলোচনা করা হয় যেগুলি কেবল একটি তলের উপর অবস্থিত। এগুলির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ —এই দুটি মাত্রা আছে। অন্যদিকে ঘন জ্যামিতিতে সেইসব জ্যামিতিক বস্তু নিয়ে আলোচনা করা হয় যেগুলির তিনটি মাত্রা আছে, দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা।
ইউক্লিড তাঁর সময়কার বিভিন্ন জ্যামিতিক উপপাদ্যগুলিকে খুবই অল্প সংখ্যক স্বতঃসিদ্ধের সাহায্যে ব্যাখ্যা করেছিলেন। তিনি মাত্র পাঁচটি স্বতঃসিদ্ধ থেকে সমস্ত উপপাদ্যতে উপনীত হওয়ার সূত্র আবিষ্কার করেছিলেন—
- যে-কোনো দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরলরেখা আঁকা সম্ভব।
- কোনো সরলরেখাকে অসীম পর্যন্ত প্রসারিত করা যায় কিংবা যে-কোনো বিন্দুতে সীমাবদ্ধ করা যায়।
- যে-কোনো প্রদত্ত বিন্দুকে কেন্দ্র ধরে ও যে-কোনো প্রদত্ত ব্যাসার্ধ (বৃত্তের যে-কোনো বিন্দু থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব) দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা সম্ভব।
- সব সমকোণ সবসময় সমান।
- একটি প্রদত্ত সরলরেখার বহিস্থ একটি প্রদত্ত বিন্দু দিয়ে প্রথম সরলরেখার সমান্তরাল কেবল একটি সরলরেখা আঁকা সম্ভব।
ইউক্লিডীয় ও অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি
ইউক্লিডের পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধ বলে যে-কোনো প্রদত্ত রেখার বহিস্থ একটি বিন্দু দিয়ে ওই রেখার সমান্তরাল কেবল একটি রেখা আঁকা সম্ভব এবং এই সমান্তরাল রেখা কখনোই প্রদত্ত রেখাটিকে স্পর্শ করবে না, অসীম পর্যন্ত সমান্তরালে চলতে থাকবে।
উনিশ শতকের শুরুর দিকে জার্মান গণিতবিদ কার্ল ফ্রিড্রিশ গাউস (Carl Friedrich Gauss), রুশ গণিতবিদ নিকোলাই ইভানভিচ লোবাচেস্কি (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) এবং হাঙ্গেরীয় গণিতবিদ ইয়ানোশ বলিয়ই (Janos Bolyai) একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে দেখান যে এমন একটি জ্যানিতিক ব্যবস্থা গঠন করা সম্ভব যেখানে ইউক্লিডের এই পঞ্চম স্বতঃসিন্ধটিকে অন্য একটি স্বতঃসিদ্ধ দিয়ে প্রতিস্থাপন করা সম্ভব। যেখানে বলা হয়, যে-কোনো প্রদত্ত রেখার বহিস্ব কোনো বিন্দু দিয়ে রেখাটির সমান্তরাল অসীম সংখ্যক রেখা আঁকা সম্ভব। পরবর্তীতে 1860 খ্রিস্টাব্দে জার্মান গণিতবিদ গেয়র্গ ফ্রিডরিশ বের্নহার্ড রিমান (Georg Friedrich Bernhard Riemann) দেখান যে আর-একটি জ্যামিতিক ব্যবস্থা গঠন করা সম্ভব যেখানে এরকম কোনো সমান্তরাল রেখাই আঁকা সম্ভব নয়।
অপেক্ষাকৃত কম দূরত্বের জন্য, অর্থাৎ আমাদের প্রাত্যহিক অভিজ্ঞতার ক্ষেত্রে, ইউক্লিডীয় ও অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই। তবে মহাজাগতিক দূরত্ব এবং আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যা যেমন আপেক্ষিকতার সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য ইউক্লিডীয় জ্যামিতির চেয়ে অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি পর্যবেক্ষণকৃত ঘটনাবলির আরও সূক্ষ্ম ও সঠিক ব্যাখ্যা দিতে পারে।
পঞ্চম শতাব্দীতে রোমান সাম্রাজ্যের পতনের পর পঞ্চদশ শতক পর্যন্ত ইউরোপে জ্যামিতির তেমন উন্নতি সাধন হয়নি। এসময় ইউরোপ অন্ধকার যুগে প্রবেশ করে এবং উত্তর আফ্রিকা ও মধ্যপ্রাচ্যের মুসলমানেরা এবং ভারতের হিন্দুরা জ্যামিতির বেশিরভাগ উন্নতি সাধন করেন। ষষ্ঠ শতকের ভারতীয় গণিতবিদ আর্যভট্ট সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র পুনরাবিষ্কার করেন। এ ছাড়াও তিনি পাই (𝝅)-এর অত্যন্ত সঠিক মানের একটি সূত্র আবিষ্কার করেন। পরবর্তীকালে, ফরাসি দার্শনিক ও গণিতবিদ রেনে দেকার্ত ( Rene Descartes) জ্যামিতিকে সামনের দিকে এগিয়ে দেন। 1637 খ্রিস্টাব্দে তাঁর প্রভাবশালী রচনা Discourse on Method’ প্রকাশিত হয়, যেখানে তিনি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাহায্যে জ্যামিতিক আকৃতি প্রকাশের পদ্ধতি উপস্থাপন করেন। তাঁর কাজ জ্যামিতি ও বীজগণিতের মধ্যে যোগসূত্র স্থাপন করে। এই যোগসূত্রই বিশ্লেষণী জ্যামিতি এবং আধুনিক জ্যামিতির ভিত্তি।
সপ্তদশ শতকের জ্যামিতির আর-একটি গুরুত্বপূর্ণ ঘটনা ছিল অভিক্ষেপী অ্যামিতির (Projective Geometry) উদ্ভাবন। অভিক্ষেপী জ্যামিতিতে কোনো জ্যামিতিক বস্তুর এক তল থেকে আর-একটি তলে অভিক্ষেপ ফেললে এর ধর্মের কী পরিবর্তন ঘটে তা নিয়ে গবেষণা করা হয়। জেরার দ্যজার্গ (Gerard Desargues) নামের এক ফরাসি বিজ্ঞানী অভিক্ষেপী জ্যামিতি উদ্ভাবন করেন। অষ্টাদশ শতকে গাসপার মৌজ (Gaspard Monge) নামের ফরাসি এক গণিতের অধ্যাপক বিবরণমূলক জ্যামিতি (Descriptive Geometry) নামে জ্যামিতির আর-একটি শাখা উদ্ভাবন করেন। বিবরণমূলক জ্যামিতিতে দ্বিমাত্রিক চিত্রের সাহায্যে ত্রিমাত্রিক বস্তুসমূহকে কীভাবে ত্রুটিহীনভাবে উপস্থাপন করা যায় এবং এর সাহায্যে কীভাবে ত্রিমাত্রিক জ্যামিতির নানা সমস্যাসমাধান করা যায়, তার আলোচনা করা হয়। প্রকৌশল ও স্থাপত্যের অঙ্কনের ভিত্তি হল এই বিবরণমূলক জ্যামিতি।
1872 খ্রিস্টাব্দে জার্মান গণিতবিদ ফেলিক্স ক্লাইন (Felix Klein) গণিতের একটি অপেক্ষাকৃত নবীন শাখা গ্রুপ তত্ত্ব ব্যবহার করে তাঁর সময়কার সমস্ত জ্যামিতিক ব্যবস্থাগুলিকে এক ব্যবস্থার অধীনে আনেন। 1899 খ্রিস্টাব্দে আর-একজন জার্মান গণিতবিদ ডেভিড হিলবার্ট (David Hilbert) তাঁর ‘Foundations of Geometry বইটি প্রকাশ করেন, যাতে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির জন্য স্বতঃসিদ্ধসমূহের একটি সুশৃঙ্খল ব্যবস্থা প্রদান করা হয় এবং এটি গণিতের অন্যান্য শাখায় গভীর প্রভাব ফেলে। 1916 খ্রিস্টাব্দে আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা তত্ত্ব অনুসারে দেখা যায় অনেক ভৌত ঘটনা জ্যামিতিক মূলনীতি থেকে উপনীত হওয়া সম্ভব। উনিশ শতকের ব্রিটিশ গণিতবিদ আর্থার কেলি (Arthur Cayley) চার বা তারও বেশি মাত্রার জ্যামিতি প্রবর্তন করেন। উনিশ শতকে ফ্র্যাক্টাল মাত্রার আলোচনা শুরু হয়। 1970 খ্রিস্টাব্দে ফ্র্যাক্টালের ধারণা কাজে লাগিয়ে জ্যামিতির নতুন শাখা ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতির (Fractal Geometry) উদ্ভব হয়।
পরিমিতি (Mensuration)
পরিমিতি শব্দের অর্থ হল পরিমাপ করা। আমাদের দৈনন্দিন জীবনে প্রায় প্রতিটি কাজের সঙ্গেই পরিমাপ ব্যাপারটি জড়িত। এ ছাড়া বিভিন্ন গবেষণার ক্ষেত্রে সূক্ষ্ম পরিমাপের প্রয়োজন হয়। প্রাথমিক জ্যামিতিকে কাজে লাগিয়ে পরিমিতিতে দ্বিমাত্রিক বিভিন্ন আকারের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা এবং ত্রিমাত্রিক বস্তুসমূহের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করা সম্ভব।
ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)
ত্রিকোণমিতি হল গণিতের একটি শাখা, যাতে ত্রিভুজের কোণ, বাহু ও তাদের মধ্যকার সম্পর্ক ব্যবহার করে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করা হয়। ত্রিকোণমিতি শব্দটি গ্রিক শব্দ “trigonon” বা “ভিজ’ এবং ‘metron’ বা ‘পরিমাপ থেকে উদ্ভূত হয়েছে।
ত্রিকোণমিতির জন্ম প্রাচীন মিশরে হলেও এর উদ্ভাবক কিন্তু একজন গ্রিক গণিতবিদ। খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় শতকে গ্রিক জ্যোতির্বিদ হিপারচুস (Hipparchus) গ্রহ-নক্ষত্র বিচার করতে গিয়ে এই বিদ্যার চর্চা শুরু করেন। তিনি কাজ করতেন আলেকজান্দ্রিয়ার একটি জাদুঘরে।
তবে আমরা বর্তমান যুগে ‘সাইন’ (Sine), ‘কস’ (Cos), ‘থিটা’ (Theta), ‘কোসাইন’ (Cosine), ‘কোসেক’ (Cosec) ইত্যাদি দিয়ে যে ত্রিকোণমিতি করে থাকি, তার উদ্ভাবক কিন্তু মুসলিম গণিতবিদেরা। নবম খ্রিস্টাব্দে আবু আবদুল্লাহ আল-বাতানি (Abu Abdullah al Battani), হাবাস আল-হাসিব (Habash al Hasib) ও আবুল ওয়াফা আল-বুজানি (Abul Wafa al Buzjani)— তিন গণিতবিদের যৌথ উদ্যোগের ফসল আজকের ত্রিকোণমিতি। তাঁরা কিন্তু গ্রিক জ্যোতির্বিদ হিপারচুসের মূল ধারণার উপর ভিত্তি করেই এ বিষয়টিকে আরও আধুনিক করে গড়ে তুলেছিলেন।
ত্রিকোণমিতিতে ভারতীয় গণিতবিদদের অবদান
ত্রিকোণমিতিতে ভারতীয় গণিতবিদদের উল্লেখযোগ্য অবদান রয়েছে। দ্বিতীয় ভাস্কর সর্বপ্রথম sin (a + b) এবং sin (a – b)-এর সূত্র আবিষ্কার করেন।
1400 খ্রিস্টাব্দে ভারতীয় গণিতবিদ মাধবাচার্য ত্রিকোণমিতিক সিরিজের সূত্র আবিষ্কার করেন। তিনি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনেরও 𝝅 ও θ -এর পাওয়ার সিরিজ এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ, ব্যাস ও পরিধির ধারণা দিয়েছিলেন।
পরিসংখ্যান বিদ্যার সংক্ষিপ্ত ইতিহাস(A Brief History of Statistics)
পরিসংখ্যান হল এক ধরনের গাণিতিক বিজ্ঞান যা মূলত তথ্যসংগ্রহ, বিশ্লেষণ, ব্যাখ্যা ও তথ্যকে সহজে পরিবেশন নিয়ে কাজ করে। বিজ্ঞান ও সামাজিক বিজ্ঞান, মানবিক এবং আরও নানা শাখায় পরিসংখ্যানের ব্যবহার রয়েছে। তথ্য বিশ্লেষণ করে তা থেকে তথ্যসমৃদ্ধ সিদ্ধান্ত (Informed decision) গ্রহণে পরিসংখ্যানের ভূমিকা অপরিহার্য। যে-কোনো ধরনের গবেষণার জন্য পরিসংখ্যান-এর মৌলিক জ্ঞান থাকা আবশ্যক। তবে জ্ঞাত বা অজ্ঞাতসারে পরিসংখ্যানের অপব্যবহারও হয়ে থাকে।
পরিসংখ্যানের ইংরেজি ‘Statistics’ শব্দটি লাতিন শব্দ Statuss’, ইতালিয়ান শব্দ ‘Statista’ বা জার্মান শব্দ Statistik’ হতে উৎপত্তি হয়েছে। Statuss’ এবং ‘Statistik’ শব্দের অর্থ ‘রাষ্ট্র’ আর ‘Statista’ শব্দের অর্থ ‘রাষ্ট্রের কার্যাবলি’।
এ থেকে বোঝা যায় যে রাষ্ট্রের কাজ পরিচালনা থেকেই পরিসংখ্যানের উৎপত্তি হয়েছে। রাষ্ট্রের বিভিন্ন তথ্য যেমন- -লোকসংখ্যা, রাজ্যবাসীর পরিমাণ, জন্মমৃত্যু প্রভৃতি হিসাবের জন্য এটি ব্যবহৃত হত। পরিসংখ্যানের সমস্যাগুলো সাধারণত কোনো নির্দিষ্ট গোষ্ঠী বা সমষ্টি নিয়ে আবর্তিত হয়। তথ্যের প্রাপ্যতা বা ব্যবস্থাপনা যোগ্যতার উপর ভিত্তি করে সেই সমষ্টির প্রত্যেককে নিয়ে অথবা তার একটা অংশকে নিয়ে কোনো চয়ন পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ করা হয়।
কলনবিদ্যা (Calculus)
কলনবিদ্যা হল গণিতের একটি শাখা যেখানে সীমা, অন্তরকলন, সমাকলন ও অসীম শ্রেণি নিয়ে আলোচনা করা হয়ে থাকে। ক্যালকুলাস শব্দটি লাতিন ভাষা থেকে এসেছে এবং এর অর্থ ‘নুড়িপাথর”। বর্তমানে বিশ্ববিদ্যালয় পর্যায়ে অনেক ক্ষেত্রেই ক্যালকুলাস একটি বাধ্যতামুলক বিষয়। মূলত নিউটনকে এই বিদ্যার জনক বলা হয়।
বিজ্ঞান ও প্রকৌশলে ক্যালকুলাসের ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে। প্রাথমিক বীজগণিত নিয়ে যেসব জটিল ও বড়ো সমস্যার সমাধান সম্ভব নয়, সেগুলি সমাধান করতে ক্যালকুলাস কাজে লাগানো হয়। ক্যালকুলাস বিশ্লেষণী জ্যামিতি ও বিশ্লেষণ গণিত শাখার উপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত। অন্তরকলন এবং সমাকলন ক্যালকুলাসের দুটি প্রধান শাখা। এই দুই শাখা ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য দিয়ে পরস্পরের সঙ্গে সম্পর্কিত।
অন্তরকলন (Differential Calculus)
অন্তরকলন বা অবকলন হল গণিতশাস্ত্রের এমন একটি শাখা যাতে কোনো রাশির অন্য কোনো রাশির সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার নিয়ে আলোচনা করা হয়। অর্থাৎ ক্রমবর্ধমান বা ক্রমহ্রাসমান দুটি রাশি, যাদের মধ্যে ফাংশনাল সম্পর্ক রয়েছে, তাদের একের সাপেক্ষে অপরের পরিবর্তনের হার নিরুপণ এবং এর তাৎপর্য নির্ণয় অন্তরকলনের মূল উদ্দেশ্য।
অপরদিকে বলা যায় যে, একটি ফাংশনের অন্তরকলজ খুঁজে বের করার পদ্ধতিকে অন্তরকজন (Differentiation) বলা হয়।
অন্তরকলন এর সংক্ষিপ্ত ইতিহাস(A brief history of calculus)
অনেক আগে থেকেই অন্তরকলনের কিছু বিষয় সম্পর্কে ভারতীয় গণিতবিদদের ধারণা ছিল। ভাস্করাচার্য, মাধবাচার্য প্রমুখ ভারতীয় গণিতবিদ রোলের উপপাদ্য, পাই (𝝅)-এর মান, সাইন (Sinc)-এর অসীম শ্রেণি প্রভৃতি আবিষ্কার করেন। পরবর্তীকালে দুটি রাশির একটির সম্মাতিসূক্ষ্ম পরিবর্তনের জন্য অন্যটির পরিবর্তন অর্থাৎ একটির সাপেক্ষে অন্যটির পরিবর্তনের হার নিয়ে অনেকেই বিশদ চিন্তাভাবনা করেন।
এভাবেই একসময় বক্ররেখা বেষ্টিত কোনো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, ঘনবস্তুর আয়তন প্রভৃতি নির্ণয়ের জন্য সমাকলন পদ্ধতির প্রয়োগ শুরু হয়। আর এই প্রায়োগিক আবিষ্কারের অংশীদার যৌথভাবে ইংরেজ বিজ্ঞানী স্যার আইজাক নিউটন এবং জার্মান বিজ্ঞানী গটফ্রিড লাইবনিৎস। সপ্তদশ শতাব্দীর শেষ ভাগে এই আবিষ্কারের ঘটনা ঘটে এবং নিউটন এবং লাইবনিৎস পরস্পর স্বাধীনভাবে এটি আবিষ্কার করেন।
যদি y -এর একটি আপেক্ষক হয়, তাহলে অন্তরকলনের সাহায্যে x-এর কোন্ মানের জন্যে y-এর মান সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন, তা নির্ণয় করা যায়। বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপগুলি সমাধানের জন্য অন্তরকলনের প্রয়োজন।