গাণিতিক চিন্তায় স্বজ্ঞা ও যুক্তিবিদ্যা”, “গণিতের বিভিন্ন শাখাসমূহ”, “WB Primary TET Math Pedagogy in Bengali

WB Primary TET Math Pedagogy in Bengali: আসন্ন পশ্চিমবঙ্গ প্রাথমিক টেট পরীক্ষার জন্য ‘প্রাথমিক টেট গণিত পেডাগজি: গণিতের প্রকৃতি ও গাণিতিক চিন্তন’ একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। গাণিতিক চিন্তায় স্বজ্ঞা ও যুক্তিবিদ্যার ভূমিকা এবং গণিতের বিভিন্ন শাখা সম্পর্কে বিস্তারিত ধারণা পেতে এই সম্পূর্ণ গাইডটি পড়ুন।

আসন্ন টেট পরীক্ষার্থীদের জন্য এই প্রবন্ধটির উপযোগিতাপশ্চিমবঙ্গ প্রাথমিক টেট (WB Primary TET) পরীক্ষার বর্তমান সিলেবাস এবং প্রশ্নপত্রের ধরন বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, সরাসরি অঙ্ক কষার পাশাপাশি গণিত পেডাগজি (Math Pedagogy) থেকে প্রচুর ধারণামূলক (Conceptual) প্রশ্ন আসে। সেই দিক থেকে বিচার করলে এই সম্পূর্ণ আলোচনাটি একজন পরীক্ষার্থীর জন্য নানাভাবে অত্যন্ত উপযোগী:ধারণা স্পষ্টীকরণ: এই আর্টিকেলে ‘প্রাথমিক টেট গণিত পেডাগজি: গণিতের প্রকৃতি ও গাণিতিক চিন্তন’ বিষয়টিকে অত্যন্ত সহজ ভাষায় তুলে ধরা হয়েছে। মুখস্থ করার বদলে গাণিতিক যুক্তিবিদ্যা ও স্বজ্ঞার (Intuition) আসল কাজ কী, তা পরীক্ষার্থীরা সহজেই বুঝতে পারবেন।পেডাগজির প্রশ্নের সঠিক উত্তর নির্বাচন: টেট পরীক্ষায় প্রায়শই বিশুদ্ধ গণিত (Pure Math) ও ফলিত গণিতের (Applied Math) পার্থক্য এবং তাদের বাস্তব প্রয়োগ থেকে ঘুরিয়ে প্রশ্ন দেওয়া হয়। এখানকার পার্থক্যমূলক ছকটি পরীক্ষার্থীদের দ্রুত সঠিক উত্তরটি বেছে নিতে সাহায্য করবে।গণিতের শাখাসমূহের ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপট: গণিতের বিভিন্ন শাখা (যেমন- পাটিগণিত, বীজগণিত, জ্যামিতি, পরিসংখ্যান ইত্যাদি) কোথা থেকে এলো এবং এর পিছনে কোন কোন গণিতবিদদের অবদান রয়েছে, তা এই আর্টিকেলে নিখুঁতভাবে দেওয়া আছে। এর ফলে পরীক্ষার্থীরা তথ্যভিত্তিক (Informative) প্রশ্নগুলোর উত্তর অনায়াসেই দিতে পারবেন। সময় সাশ্রয় ও সম্পূর্ণ প্রস্তুতি: একাধিক বই না ঘেঁটে একটিমাত্র লেখা থেকেই গণিতের প্রকৃতি ও পরিধি সম্পর্কে একটি সামগ্রিক এবং সুশৃঙ্খল প্রস্তুতি নেওয়া সম্ভব হবে, যা পরীক্ষার শেষ মুহূর্তের রিভিশনের জন্য অত্যন্ত কার্যকরী।

প্রদত্ত লেখাটির কোনো অংশ বাদ না দিয়ে, সম্পূর্ণ তথ্য অক্ষুণ্ণ রেখে এবং প্রতিটি শিরোনামকে h2 (##) হেডিং-এ পরিবর্তন করে লেখাটি নীচে নতুনভাবে উপস্থাপন করা হলো:

গাণিতিক চিন্তায় স্বজ্ঞা এবং যুক্তিবিদ্যার ভূমিকা (Role of Intuition and Logic in Mathematical Thinking)

গণিতের ক্ষেত্রে সৃজনশীলতার প্রাথমিক ধাপ হলো এর স্বজ্ঞামূলক এবং সৃজনশীল নীতিসমূহ । গাণিতিক উদ্ভাবনগুলির সত্যতা প্রমাণের জন্য বিশ্লেষণমূলক বা অ্যানালিটিকাল পদ্ধতির প্রয়োগ অপরিহার্য । আভিধানিক অর্থ অনুযায়ী, স্বজ্ঞা হলো এমন এক প্রক্রিয়া যা কোনো পূর্বলব্ধ জ্ঞান, মানসিক উপলব্ধি বা যুক্তির সাহায্য ছাড়াই সরাসরি মানুষের চেতনায় উন্মোচিত হয় । এটি মূলত একটি মানসিক ধারণা বা অনুমান, যা প্রথাগত বিশ্লেষণের ধাপগুলি অনুসরণ না করেই কোনো নির্দিষ্ট বিষয়ের সিদ্ধান্তে বা সূত্রে পৌঁছাতে সাহায্য করে ।

সামান্যতম সচেতনতা প্রয়োগ করেই একজন স্বজ্ঞাশীল চিন্তাবিদ সঠিক সিদ্ধান্তে উপনীত হতে সক্ষম হন । গণিত চর্চা আমাদের বিভিন্ন বিষয় অনুধাবন করতে এবং সেই বিষয়ে একটি সুদৃঢ় সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে সহায়তা করে । স্বজ্ঞা পূর্বপরিকল্পিত কোনো জ্ঞান নয়; বরং এটি অবচেতন মনে সঞ্চিত হওয়া বিভিন্ন ঘটনার একটি সম্মিলিত প্রতিফলন । যদিও স্বজ্ঞালব্ধ সিদ্ধান্ত সবসময় নির্ভুল নাও হতে পারে, তবুও এটি এমন এক মানসিক অনুভূতি যা স্থান, কাল বা পাত্রের গণ্ডিতে আবদ্ধ নয় । একথা অনস্বীকার্য যে, বৈজ্ঞানিক আবিষ্কারের একটি বিশাল অংশ এই স্বজ্ঞার (Intuition) হাত ধরেই সাধিত হয়েছে । জ্যামিতিক প্রমাণের ক্ষেত্রে নতুন দিক উন্মোচন করতে এবং প্রমাণের ধরন বুঝতে স্বজ্ঞা বিশেষ ভূমিকা পালন করে । গণিতের প্রতিটি প্রস্তাবনা (Proposition) নির্দিষ্ট সূত্র এবং যৌক্তিক বিশ্লেষণের মাধ্যমেই স্বীকৃতি লাভ করে । আমাদের যৌক্তিকতা, আরোহী (Inductive) ও অবরোহী (Deductive) চিন্তাধারা, বিশ্লেষণ ক্ষমতা এবং মূল্যায়নের দক্ষতা বৃদ্ধিতে গাণিতিক স্বজ্ঞা সাহায্য করে । পাশাপাশি, এটি গাণিতিক সমস্যার কাঠামো গঠন, বিমূর্ত চিন্তন, কল্পনাশক্তি এবং সমস্যা সমাধানের পারদর্শিতা উন্নত করে । জ্যামিতিক সিদ্ধান্তের মূল ভিত্তিও এই গাণিতিক স্বজ্ঞার উপরেই প্রতিষ্ঠিত ।

গণিতের পরিধি (Scope of Mathematics)

গণিত সমস্ত বিজ্ঞানের জননী হিসেবে পরিচিত এবং এটি সকল প্রকার শৃঙ্খলার মূল ভিত্তি তৈরি করে । গণিতের মূল শাখা দুটি। সেগুলি হলো- ১. বিশুদ্ধ বা মৌলিক গণিত এবং ২. ফলিত গণিত ।

মৌলিক গণিত বা বিশুদ্ধ গণিত (Basic Mathematics or Pure Mathematics)

‘বিশুদ্ধ গণিত’ বা ‘মৌলিক গণিত’ বলতে গণিতের তাত্ত্বিক (Theoretical) অংশটিকে বোঝানো হয় । সুশৃঙ্খল পদ্ধতি এবং যুক্তিসংগত বিচারের মাধ্যমে অগ্রসর হওয়াই হলো এই শাখার প্রধান বৈশিষ্ট্য । মূলত নীতি এবং তত্ত্বের উপর নির্ভর করেই বিশুদ্ধ গণিতের চর্চা হয়ে থাকে । মৌলিক গণিতের বিভিন্ন শাখাগুলি নীচে উল্লেখ করা হলো-

• বীজগণিত (Algebra): প্রারম্ভিক বীজগণিত (Elementary algebra), রৈখিক বীজগণিত (Linear algebra) এবং বীজগাণিতিক কাঠামো (Algebraic structures) এই শাখার অন্তর্গত ।
• জ্যামিতি (Geometry): অভিক্ষেপ (Projection), ইউক্লিডীয় ও অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি, ত্রিকোণমিতি (Trigonometry), বিশ্লেষণমূলক জ্যামিতি (Analytic geometry) এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি (Differential geometry) এর মধ্যে পড়ে ।
• আধুনিক গণিত (Modern Mathematics): এর অন্তর্ভুক্ত বিষয়সমূহ হলো-
• সেট তত্ত্ব (Set Theory): সেটের সংজ্ঞা, ধারণা, মৌলিক তত্ত্ব এবং সর্বজনবিদিত সেট তত্ত্ব প্রভৃতি এর অংশ ।
• টোপোলজি (Topology): বীজগাণিতিক টোপোলজি (Algebraic topology), ডিফারেনশিয়াল টোপোলজি (Differential topology), সাধারণ টোপোলজি ও টোপোলজি গ্রুপ এর অন্তর্ভুক্ত ।
• বীজগাণিতিক পদ্ধতি (Algebraic Systems): ভেক্টর স্পেস (Vector Space), ক্ষেত্র (Fields), গ্রুপ (Group) এবং রিং (Ring) নিয়ে এটি গঠিত ।
• বিশ্লেষণ (Analysis): প্রায়োগিক বিশ্লেষণ (Functional analysis), বাস্তব ও জটিল বিশ্লেষণ, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব (Theory of Probability), ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (Differential Equation) এবং ভেক্টর (Vector) এই শাখার আলোচ্য বিষয় ।
• সমন্বয় ও সংখ্যা পদ্ধতি (Combinatory and Number System): সংখ্যা পদ্ধতি (Number system) এবং সংযুক্তিকরণ জ্যামিতি (Combinatorial geometry) এখানে অন্তর্ভুক্ত ।

ফলিত গণিত (Applied Mathematics)

বিশুদ্ধ গণিতের ব্যাবহারিক রূপই হলো ফলিত গণিত, যা মানবকল্যাণে বিভিন্ন উন্নয়নমূলক পরিকল্পনার সাথে সম্পৃক্ত । পার্থিব জগতের বাস্তব কাজকর্ম ও বস্তুসমূহের সাথে সরাসরি সম্পর্কযুক্ত গাণিতিক তত্ত্বগুলিই এই শাখার আলোচ্য বিষয় । ফলিত গণিতের উপশাখাগুলি নিম্নরূপ-

• গাণনিক বিজ্ঞান (Calculatory Science): গ্রাফ (Graph), টেবিল (Table), সংখ্যাসূচক চিহ্ন (Numerical notations) এবং গাণিতিক মডেল (Mathematical Models) এই শাখার অন্তর্ভুক্ত ।
• পরিসংখ্যান (Statistics): হাইপোথিসিস, সাধারণ নীতি, টেস্টিং কাঠামো এবং মূল্যায়ন এর অন্তর্গত বিষয় ।
• সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ (Numerical Analysis): বিভিন্ন ধরনের সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদম (Algorithm) এখানে আলোচিত হয় ।
• অপ্টিমাইজেশান (Optimization): নির্দিষ্ট মানদণ্ডের ভিত্তিতে উপলব্ধ বিকল্পগুলির মধ্য থেকে সর্বোৎকৃষ্ট উপাদানটি বেছে নেওয়া এর কাজ ।
• অটোমেশন তত্ত্ব (Automation Theory): অটোমাটা (Automata) এবং বিমূর্ত মেশিন (Abstract machine) এর অন্তর্ভুক্ত ।
• তথ্য তত্ত্ব (Information Theory): কম্পিউটার বিজ্ঞান (Computer Science) এবং তড়িৎ প্রকৌশল (Electrical engineering) এই শাখায় পড়ে ।

বিশুদ্ধ ও ফলিত গণিতের পার্থক্য

বিশুদ্ধ ও ফলিত গণিতের মধ্যে তুলনামূলক পার্থক্য নিচে দেওয়া হলো-

১. মৌলিক গণিতের সাথে ভৌত জগতের সরাসরি সম্পর্ক নেই; এটি মূলতঃ তথ্যের সন্ধান, প্রশ্নের উত্তর খোঁজা ও সমস্যা সমাধানের মধ্যে সীমাবদ্ধ । অন্যদিকে, ফলিত গণিত ভৌত জগতের যাবতীয় বিষয় ব্যাখ্যা করতে সচেষ্ট থাকে, উদাহরণস্বরূপ তরল বলবিজ্ঞান (Fluid mechanics) ফলিত গণিতের অংশ যা তরল পদার্থের উপর বলের প্রভাব বিশ্লেষণ করে ।
২. বিশুদ্ধ গণিত নিজের অন্তর্নিহিত বিকাশের তাগিদে সৃষ্ট সমস্যাগুলির উপর বেশি গুরুত্ব আরোপ করে; যেমন বীজগাণিতিক সমীকরণের প্রথম কয়েকটি ডিগ্রির সমাধানের পর স্বতঃস্ফূর্তভাবেই যেকোনো ডিগ্রির সমাধানের চিন্তা আসে । বিপরীতে, ফলিত গণিত অন্যান্য বিষয় বা ক্ষেত্র থেকে উঠে আসা সমস্যা সমাধানে জোর দেয়; যেমন মহাকাশবিদ্যার গবেষণা থেকে বর্ষপঞ্জি বা ক্যালেন্ডার তৈরির গাণিতিক সমস্যার উদ্ভব ।
৩. বিশুদ্ধ গণিতে কোনো সমস্যা সমাধান করতে অত্যন্ত জটিল গণনা ও যৌক্তিক সিদ্ধান্তের প্রয়োজন পড়ে । কিন্তু ফলিত গণিতে সাধারণত এতোটা জটিল যৌক্তিক ধাপ বা গণনার বাধ্যবাধকতা থাকে না ।
৪. বিশুদ্ধ গণিতে সাধারণত সম্পূর্ণ এবং সঠিক সমস্যা নিয়ে কাজ করা হয়, যদিও কখনো কখনো গাণিতিক মডেলে কিছু উপাদান বাদ পড়ায় পরিমাপে ত্রুটি বা অসম্পূর্ণতা দেখা দিতে পারে । অপরদিকে, ফলিত গণিত প্রায়শই অন্যান্য ক্ষেত্র থেকে প্রাপ্ত অসম্পূর্ণ এবং জটিল তথ্য নির্ভর সমস্যা নিয়ে কাজ করে; যেমন আবহাওয়ার পূর্বাভাসে অনেক সময় ভুল বা অপ্রত্যাশিত তথ্য থাকে ।
৫. মৌলিক গণিতে সমস্যা সমাধানের জন্য প্রতিটি যৌক্তিক ধাপ পর্যায়ক্রমে অনুসরণ করা বাধ্যতামূলক । কিন্তু ফলিত গণিতের ক্ষেত্রে সর্বদা প্রতিটি যৌক্তিক ধাপ কঠোরভাবে অনুসরণ করে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় না ।

গণিতের বিভিন্ন শাখাসমূহ (Different Branches of Mathematics)

গণিতের বিবিধ শাখাগুলির বিস্তারিত আলোচনা নীচে দেওয়া হলো-

পাটিগণিত (Arithmetic)

পাটিগণিত গণিতশাস্ত্রের অন্যতম প্রাচীন একটি শাখা । এই শাখায় যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের সাহায্যে সরাসরি বস্তুর গণনা সংক্রান্ত হিসাব করা হয় । তাছাড়া নির্দিষ্ট সংখ্যার বর্গ, ঘন, বর্গমূল এবং ঘনমূল নির্ণয়ও পাটিগণিতের কাজের অংশ ।

প্রাচীন গ্রিক শব্দ ‘arithmos’ থেকে ‘পাটিগণিত’ শব্দটি এসেছে, যার শাব্দিক অর্থ হলো ‘সংখ্যা’ বা Number । গণিতের ইতিহাস ঘাটলে জানা যায় যে, ব্যাবিলন ও মিশরে খ্রিস্টপূর্ব ২০০০ অব্দে প্রাথমিক পাটিগণিতের চল শুরু হয়েছিল । এর পরবর্তীতে রোমেও এর প্রসার ঘটে, তবে আধুনিক পাটিগণিতের প্রকৃত ধারাবাহিক বিকাশ শুরু হয়েছিল প্রাচীন গ্রিসের হেলেনীয় সভ্যতায় । পরবর্তীতে গ্রিক গণিতজ্ঞ ইউক্লিডের হাত ধরে পাটিগণিতের নানাবিধ তত্ত্বের উদ্ভব হয় ।

সংখ্যাতত্ত্বের আদি উৎপত্তি ঘটেছিল মূলত ভারতীয় উপমহাদেশেই । প্রাচীন গ্রিক সংখ্যাতত্ত্বে শূন্যের কোনো ধারণা না থাকায়, তারা একক, দশক এবং শতক স্থানীয় মানগুলি প্রকাশের জন্য তিনটি আলাদা সেটের প্রয়োগ করতো । প্রাচীন চিনেও প্রায় একই ধরনের সংখ্যাতত্ত্বের ব্যবহার ছিল । অন্যদিকে প্রাচীন মিশরীয়দের সংখ্যাব্যবস্থা ছিল দশভিত্তিক, যা স্থানভিত্তিক না হয়ে ছিল চিত্রভিত্তিক । খ্রিস্টপূর্ব ১৭৪০ সালের দিকে মিশরীয়রা হিসাবরক্ষণ ও আয়করের কাজে শূন্যের একধরনের ব্যবহার করত । তাদের চিত্রলিপিতে থাকা ‘নেফর’ নামক একটি বিশেষ প্রতীক (যার অর্থ ‘সুন্দর’) তারা শূন্য এবং দশকের ভিত্তি হিসেবে কাজে লাগাতো । প্রাচীন মিশরীয় বিভিন্ন স্থাপনা এবং পিরামিডে এই ধরনের সংখ্যার প্রমাণ মেলে ।

তবে শূন্যকে শুধুমাত্র কোনো প্রতীক হিসেবে নয়, বরং একটি পূর্ণাঙ্গ সংখ্যা হিসেবে সার্থকভাবে ব্যবহারের কৃতিত্ব প্রাচীন ভারতীয় গণিতবিদদেরই প্রাপ্য । খ্রিস্টপূর্ব নবম শতকে ভারতবর্ষে হিসাবনিকাশের সময় বাস্তব সংখ্যা রূপে শূন্যের ব্যবহার প্রচলিত ছিল । শূন্য প্রয়োগ করে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগের মতো কাজও করা হতো । খ্রিস্টপূর্ব পঞ্চম থেকে দ্বিতীয় শতাব্দীর মধ্যবর্তী সময়ে ভারতীয় গণিতজ্ঞ পিঙ্গলা হিসাবনিকাশের জন্য ‘বাইনারি সংখ্যা’ পদ্ধতি আবিষ্কার করেছিলেন । প্রখ্যাত ভারতীয় গণিতবিদ আর্যভট্ট তাঁর গ্রন্থে শূন্যের উল্লেখ করেছিলেন, আর শেষমেশ ব্রহ্মগুপ্ত শূন্যকে একটি প্রকৃত সংখ্যার স্বীকৃতি প্রদান করেন । ব্রহ্মগুপ্তের রচিত ‘ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত’ নামক গ্রন্থেই শূন্য সর্বপ্রথম সংখ্যা হিসেবে মর্যাদা লাভ করে । শূন্যের সাথে যোগ, বিয়োগ এবং গুণের নিয়মাবলি এই গ্রন্থে নিখুঁতভাবে বর্ণিত ছিল এবং পরবর্তীকালে ভাস্কর ও মহাবীরও শূন্য নিয়ে আরও কাজ করেন ।

বীজগণিত (Algebra)

গণিতের যে শাখায় সমীকরণের অজানা মানগুলিকে নির্দিষ্ট প্রতীকের সাহায্যে উপস্থাপন করা হয়, সেটিই হলো বীজগণিত । বীজগণিতে নির্দিষ্ট কোনো সংখ্যার উল্লেখ ছাড়াই পাটিগণিতের মৌলিক প্রক্রিয়াগুলি (যেমন- যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ) সম্পাদন করা সম্ভব । আমাদের দৈনন্দিন জীবনের নানা হিসাবনিকাশে বীজগণিতের ব্যাপক প্রয়োগ দেখা যায় । পাটিগণিতের সাহায্যে কোনো গাণিতিক সম্পর্ককে সাধারণ সূত্রাকারে প্রকাশ করা যায় না, এটি কেবল নির্দিষ্ট কিছু উদাহরণ দেখাতে পারে । কিন্তু বীজগণিতে প্রতীকের মাধ্যমে কোনো গাণিতিক সম্পর্ককে সার্বজনীন বিবৃতি বা সূত্র হিসেবে প্রকাশ করা যায় ।

উনিশ শতকের প্রারম্ভে বীজগণিত আধুনিকতার স্পর্শ পায় । গণিতজ্ঞ আল-খোয়ারিজমি (Musa al-Khwarizmi) সর্বপ্রথম বীজগণিতের সূচনা করেন । তিনি তাঁর ‘কিতাব আল জারর ওয়াল মুকাবিলা’ গ্রন্থে প্রথমবারের মতো রৈখিক বীজগণিতের ধারণাটি প্রকাশ করেছিলেন । এরপর গণিতবিদরা বহুপদী রাশি ও সংখ্যার সমাধানের গণ্ডি পেরিয়ে বিভিন্ন বিমূর্ত গাণিতিক সংগঠনের দিকে মনোনিবেশ করেন, যেগুলির আচরণবিধি অন্যান্য গাণিতিক বস্তুর সাথে তুলনীয় ছিল । এরূপ একটি বিমূর্ত সংগঠন হলো ‘গ্রুপ’; এটি মূলত কিছু উপাদান ও অপারেশনের একটি সেট, যা যেকোনো সেট থেকে দুটি উপাদান গ্রহণ করে তৃতীয় একটি নতুন উপাদান তৈরি করে । গ্রুপগুলি অনেক ক্ষেত্রেই সংখ্যা ব্যবস্থার ধর্ম মেনে চললেও, বেশ কিছু দিক থেকে এরা স্বতন্ত্র । উনিশ শতকের গাণিতিক গবেষণায় এই ‘গ্রুপ’ ধারণাটি একটি অন্যতম সংযোগকারী বিষয় হিসেবে আবির্ভূত হয়েছিল । ফরাসি গণিতজ্ঞ এভারিস্ত গালোয়া (Evariste Galois), নরওয়েজীয় নিল্স হেনরিক আবেল (Niels Henrik Abel) এবং ব্রিটিশ গণিতবিদ আর্থার কেলি (Arthur Cayley) গ্রুপ তত্ত্ব নিয়ে গবেষণায় অসামান্য অবদান রেখেছেন ।

বীজগণিতের প্রাথমিক চর্চা শুরু হয়েছিল প্রাচীন ব্যাবিলনে । সেই যুগে ব্যাবিলনীয় বীজগণিত সমসাময়িক মিশরীয় বীজগণিতের তুলনায় বহুগুণে অগ্রসর ছিল । মিশরীয়রা যেখানে কেবল রৈখিক সমীকরণ নিয়ে কাজ করতো, ব্যাবিলনীয় গণিতবিদরা তখন দ্বিঘাত এবং ত্রিঘাত সমীকরণ নিয়ে গবেষণা চালাচ্ছিলেন । খ্রিস্টপূর্ব ১৬৫০ অব্দে অহমেশ (Ahmes) নামক গণিতবিদ x+ax=b এবং x+ax+bx=c রৈখিক সমীকরণগুলির সমাধান পদ্ধতি আবিষ্কার করেছিলেন ।

জ্যামিতি (Geometry)

জ্যামিতি হলো গণিতের সেই শাখা যা আকার, আকৃতি এবং এদের সাথে সম্পর্কিত বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের পারস্পরিক সম্পর্ক নিয়ে আলোচনা করে । জ্যামিতিকে মূলত জগৎ বা স্থানের (Space) বিজ্ঞান বলা যেতে পারে । পাটিগণিত যেমন গণনার অভিজ্ঞতা নিয়ে কাজ করে, জ্যামিতি তেমনি আমাদের পারিপার্শ্বিক জগৎ বা স্থান সম্পর্কিত অভিজ্ঞতাগুলোকে বৈজ্ঞানিকভাবে ব্যাখ্যা করে । প্রাথমিক জ্যামিতির জ্ঞান কাজে লাগিয়ে দ্বিমাত্রিক বস্তুর পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল এবং ত্রিমাত্রিক বস্তুর আয়তন ও পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করা সম্ভব হয় ।

প্রাচীন মিশর ও মেসোপটেমিয়ায় সর্বপ্রথম জ্যামিতির ব্যবহার শুরু হয়েছিল । প্রাচীন মিশরে প্রাথমিক জ্যামিতি সাধারণত দৈর্ঘ্য, কোণের পরিমাপ, উচ্চতা, আয়তন ও পরিসীমা সংক্রান্ত মূলনীতির উপর দাঁড়িয়েছিল, যা মূলত জ্যোতির্বিজ্ঞান, জরিপ কাজ, নির্মাণশৈলী এবং বিভিন্ন ব্যাবহারিক প্রয়োজন মেটাতে ব্যবহৃত হতো । খ্রিস্টপূর্ব সপ্তম শতকে বিখ্যাত গ্রিক গণিতবিদ থালেস (Thales) একটি পিরামিডের উচ্চতা নির্ণয় করার জন্য জ্যামিতির প্রয়োগ করেছিলেন । তিনিই জ্যামিতিশাস্ত্রে সর্বপ্রথম অবরোহী চিন্তন পদ্ধতির সূত্রপাত করেন । থালেসের সুযোগ্য শিষ্য ছিলেন পিথাগোরাস । পিথাগোরাস এবং তাঁর অনুগামীরা বৃত্ত, অনুপাত, ত্রিভুজ ও নানা ঘনবস্তু সম্পর্কিত বহু নতুন উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন । সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ যে অপর দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, পিথাগোরাসের এই বিখ্যাত উপপাদ্যটি আজও তাঁর নামেই পরিচিত ।

গ্রিক গণিতবিদরা শুধুমাত্র কাঁটা-কম্পাস ও রুলার ব্যবহার করে বিভিন্ন জ্যামিতিক সম্পাদ্য বা চিত্র আঁকার কৌশল উদ্ভাবন করেছিলেন । এগুলির মধ্যে প্রদত্ত রেখাংশের দ্বিগুণ দৈর্ঘ্যের রেখা আঁকা বা কোনো কোণকে সমান দুভাগে ভাগ করার মতো সরল সমস্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত ছিল । তবে গ্রিকদের কাছে তিনটি বিখ্যাত জ্যামিতিক সমস্যা বহু বছর ধরে অমীমাংসিত ছিল— একটি প্রদত্ত ঘনকের দ্বিগুণ আয়তনের ঘনক অঙ্কন, প্রদত্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন এবং একটি কোণকে সমান তিন ভাগে ভাগ করা । রুলার ও কাঁটা-কম্পাস দিয়ে এগুলির কোনোটিই আঁকা সম্ভব নয় । এর মধ্যে বৃত্তের বর্গীকরণের ব্যাপারটি যে অসম্ভব, তা ১৮৮২ সালের আগে কেউ প্রমাণ করতে পারেনি ।

প্রাচীন ভারতবর্ষেও সুল্ব সূত্র (Sulba Sutra) নামক গ্রন্থে জ্যামিতি চর্চার নিদর্শন পাওয়া যায় । ভারতীয় গণিতবিদ ব্রহ্মগুপ্ত কর্তৃক আবিষ্কৃত বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি জ্যামিতির দুনিয়ায় একটি অসামান্য অবদান । তবে খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ অব্দে গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিডের যুগান্তকারী অবদানের মাধ্যমেই জ্যামিতির ইতিহাসে এক বৈপ্লবিক পরিবর্তন আসে । বর্তমানে আমরা ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সাথেই সবচেয়ে বেশি পরিচিত । দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় জ্যামিতি ‘সমতলীয় জ্যামিতি’ এবং ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় জ্যামিতি ‘ঘন জ্যামিতি’ নামে পরিচিত । সমতলীয় জ্যামিতিতে এমন বস্তু নিয়ে আলোচনা করা হয় যারা শুধুমাত্র একটি তলের উপর অবস্থান করে এবং এদের কেবলমাত্র দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নামক দুটি মাত্রা থাকে । অন্যদিকে ঘন জ্যামিতিতে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা বিশিষ্ট ত্রিমাত্রিক বস্তু নিয়ে আলোচনা করা হয় ।

ইউক্লিড তৎকালীন সময়ের সমস্ত জ্যামিতিক উপপাদ্যগুলিকে মাত্র কয়েকটি মৌলিক স্বতঃসিদ্ধের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হয়েছিলেন । তিনি মাত্র পাঁচটি স্বতঃসিদ্ধকে ভিত্তি করে সমস্ত উপপাদ্য প্রমাণের পথ দেখিয়েছিলেন-

১. যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে একটি সরলরেখা আঁকা যায় ।
২. যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে এবং যেকোনো নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা সম্ভব ।
৩. সমস্ত সমকোণ পরস্পরের সমান হবে ।
৪. একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার বাইরে অবস্থিত কোনো বিন্দু দিয়ে ওই সরলরেখার সমান্তরাল কেবলমাত্র একটি রেখাই আঁকা যাবে ।

ইউক্লিডের পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধটি অনুযায়ী, প্রদত্ত রেখার বাইরের কোনো বিন্দু দিয়ে কেবল একটি সমান্তরাল রেখা টানা যায় এবং তা অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করলেও মূল রেখাকে কখনো ছেদ করবে না । কিন্তু উনিশ শতকের শুরুতে হাঙ্গেরীয় গণিতবিদ ইয়ানোশ বলিয়ই (Janos Bolyai), জার্মান গণিতজ্ঞ কার্ল ফ্রিড্রিশ গাউস (Carl Friedrich Gauss) এবং রুশ গণিতবিদ নিকোলাই ইভানভিচ লোবাচেস্কি (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) স্বাধীনভাবে গবেষণা করে দেখান যে, ইউক্লিডের পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধকে পরিবর্তন করে এমন এক জ্যামিতিক ব্যবস্থা তৈরি করা সম্ভব যেখানে বহিস্থ বিন্দু দিয়ে ওই রেখার সমান্তরাল অসীম সংখ্যক রেখা টানা যায় । পরবর্তীতে ১৮৬০ সালে জার্মান গণিতজ্ঞ গেয়র্গ ফ্রিট্রিশ বের্নহার্ড রিমান (Georg Friedrich Bernhard Riemann) প্রমাণ করেন যে এমন জ্যামিতিক ব্যবস্থাও সম্ভব যেখানে কোনো সমান্তরাল রেখাই আঁকা যায় না ।

আমাদের প্রাত্যহিক জীবনের ক্ষুদ্র দূরত্বের ক্ষেত্রে ইউক্লিডীয় ও অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির মধ্যে কোনো তফাৎ বোঝা যায় না । তবে আধুনিক পদার্থবিদ্যার সমস্যা (যেমন আপেক্ষিকতা) বা মহাজাগতিক দূরত্ব পরিমাপের ক্ষেত্রে অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি অনেক বেশি নির্ভুল ও সূক্ষ্ম ব্যাখ্যা প্রদানে সক্ষম । পঞ্চম শতাব্দীতে রোমান সাম্রাজ্যের পতনের পর থেকে পঞ্চদশ শতাব্দী পর্যন্ত ইউরোপে জ্যামিতির বিশেষ কোনো অগ্রগতি হয়নি । এই অন্ধকার যুগে মূলত মধ্যপ্রাচ্য ও উত্তর আফ্রিকার মুসলিম বিজ্ঞানী এবং ভারতবর্ষের হিন্দু গণিতবিদরাই জ্যামিতির সিংহভাগ উন্নতি সাধন করেছিলেন । ষষ্ঠ শতকের ভারতীয় গণিতজ্ঞ আর্যভট্ট সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি পুনরায় আবিষ্কার করেন । এছাড়াও তিনি পাই π-এর মান নির্ণয়ের অত্যন্ত নিখুঁত একটি সূত্র প্রদান করেছিলেন । পরবর্তী সময়ে ফরাসি গণিতবিদ ও দার্শনিক রেনে দেকার্ত (Rene Descartes) জ্যামিতিকে আরও সমৃদ্ধ করেন । ১৬৩৭ সালে তাঁর রচিত বিখ্যাত গ্রন্থ ‘Discourse on Method’-এ তিনি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মাধ্যমে জ্যামিতিক আকৃতি প্রকাশের পদ্ধতি তুলে ধরেন । তাঁর এই যুগান্তকারী কাজ বীজগণিত ও জ্যামিতির মধ্যে সেতুবন্ধন রচনা করে, যা আধুনিক জ্যামিতি এবং বিশ্লেষণী জ্যামিতির মূল ভিত্তি হিসেবে পরিগণিত হয় ।

সপ্তদশ শতকে জ্যামিতিশাস্ত্রে আরও একটি বড়ো সংযোজন ছিল অভিক্ষেপী জ্যামিতির (Projective Geometry) আবিষ্কার । এই শাখায় কোনো জ্যামিতিক বস্তুর অভিক্ষেপ এক তল থেকে অন্য তলে ফেললে তার বৈশিষ্ট্যের কী পরিবর্তন ঘটে, তা নিয়ে গবেষণা করা হয় । ফরাসি বিজ্ঞানী জেরার দ্যজার্গ (Gerard Desargues) এই অভিক্ষেপী জ্যামিতির উদ্ভাবন করেছিলেন । অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফরাসি গণিত অধ্যাপক গাসপার মোঁজ (Gaspard Monge) ‘বিবরণমূলক জ্যামিতি’ (Descriptive Geometry) নামে জ্যামিতির নতুন একটি শাখার জন্ম দেন । দ্বিমাত্রিক চিত্রের সাহায্যে ত্রিমাত্রিক বস্তুকে ত্রুটিহীনভাবে উপস্থাপন করে কীভাবে ত্রিমাত্রিক জ্যামিতির জটিল সমস্যা সমাধান করা যায়, তা বিবরণমূলক জ্যামিতিতে আলোচনা করা হয় । আধুনিক স্থাপত্য ও প্রকৌশল অঙ্কনের মূল ভিত্তি হলো এই বিবরণমূলক জ্যামিতি ।

১৮৭২ সালে জার্মান গণিতবিদ ফেলিক্স ক্লাইন (Felix Klein) তুলনামূলক নবীন শাখা ‘গ্রুপ তত্ত্ব’ প্রয়োগ করে তাঁর সমসাময়িক সমস্ত জ্যামিতিক ব্যবস্থাগুলিকে একটি একক কাঠামোর আওতায় নিয়ে আসেন । ১৮৯৯ খ্রিস্টাব্দে জার্মান গণিতজ্ঞ ডেভিড হিলবার্ট (David Hilbert) তাঁর বিখ্যাত ‘Foundations of Geometry’ গ্রন্থে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধগুলির একটি সুশৃঙ্খল কাঠামো প্রদান করেন, যা গণিতের অন্যান্য শাখায় সুদূরপ্রসারী প্রভাব ফেলেছিল । ১৯১৬ সালে আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা তত্ত্ব থেকে প্রমাণিত হয় যে অনেক ভৌত ঘটনাই জ্যামিতিক মূলনীতি থেকে নিরূপণ করা সম্ভব । ব্রিটিশ গণিতবিদ আর্থার কেলি (Arthur Cayley) উনিশ শতকে চার বা ততোধিক মাত্রার জ্যামিতির প্রবর্তন করেছিলেন । উনিশ শতকেই ফ্যাক্টাল মাত্রার আলোচনা শুরু হয়েছিল এবং ১৯৭০ সালে এই ফ্র্যাক্টালের ধারণাকে ভিত্তি করে জ্যামিতির এক নতুন শাখা ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতির (Fractal Geometry) আত্মপ্রকাশ ঘটে ।

পরিমিতি (Mensuration)

‘পরিমিতি’ শব্দটির আক্ষরিক অর্থ হলো ‘পরিমাপ করা’ । আমাদের প্রাত্যহিক জীবনের প্রায় প্রতিটি কাজই কোনো না কোনো ধরনের পরিমাপের সাথে যুক্ত । এছাড়াও বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক গবেষণায় অতি সূক্ষ্ম পরিমাপের দরকার হয় । প্রাথমিক জ্যামিতির সূত্রগুলোকে কাজে লাগিয়েই পরিমিতির মাধ্যমে দ্বিমাত্রিক বস্তুর ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা এবং ত্রিমাত্রিক বস্তুর আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয় ।

ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)

গণিতের যে শাখায় কোনো ত্রিভুজের বাহু, কোণ এবং এদের পারস্পরিক সম্পর্কের সাহায্যে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা হয়, তাকে ত্রিকোণমিতি বলা হয় । ‘ত্রিকোণমিতি’ শব্দটি মূলত গ্রিক শব্দ ‘trigonon’ (যার অর্থ ত্রিভুজ) এবং ‘metron’ (যার অর্থ পরিমাপ) থেকে এসেছে । প্রাচীন মিশরে ত্রিকোণমিতির চর্চা শুরু হলেও এর উদ্ভাবক হিসেবে একজন গ্রিক গণিতবিদকেই স্বীকৃতি দেওয়া হয় । খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় শতাব্দীতে গ্রিক জ্যোতির্বিদ হিপারচুস (Hipparchus) গ্রহ-নক্ষত্রের অবস্থান বিচার করার প্রয়োজনে প্রথম এই বিদ্যার চর্চা শুরু করেছিলেন। তিনি আলেকজান্দ্রিয়ার একটি জাদুঘরে কর্মরত ছিলেন।

তবে বর্তমানে আমরা ত্রিকোণমিতিতে যে ‘সাইন’ (Sine), ‘কোসাইন’ (Cosine), ‘কস’ (Cos), ‘কোসেক’ (Cosec), ‘থিটা’ (Theta) ইত্যাদি ফাংশন ব্যবহার করি, সেগুলির উদ্ভাবক ছিলেন মুসলিম গণিতবিদেরা । নবম শতকে আবুল ওয়াফা আল-বুজানি (Abul Wafa al Buzjani), হাবাস আল-হাসিব (Habash al Hasib) এবং আবু আবদুল্লাহ আল-বাতানি (Abu Abdullah al Battani) নামক তিন গণিতবিদের সম্মিলিত গবেষণার ফসলই হলো আজকের এই আধুনিক ত্রিকোণমিতি । তাঁরা গ্রিক জ্যোতির্বিদ হিপারচুসের প্রাথমিক ধারণাগুলোর উপর ভিত্তি করেই বিষয়টিকে বর্তমানের আধুনিক রূপ দান করেছিলেন ।

ত্রিকোণমিতির বিকাশে ভারতীয় গণিতবিদদেরও অবিস্মরণীয় অবদান রয়েছে । গণিতবিদ দ্বিতীয় ভাস্কর সর্বপ্রথম

sin(a + b) এবং sin(a – b) এর সূত্র আবিষ্কার করেছিলেন ।

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b

১৪০০ সালে আরেক ভারতীয় গণিতজ্ঞ মাধবাচার্য ত্রিকোণমিতিক সিরিজের সূত্রসমূহ উদ্ভাবন করেন । বৃত্তের পরিধি, ব্যাস ও ব্যাসার্ধের স্পষ্ট ধারণা প্রদানের পাশাপাশি তিনিই ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং π এর পাওয়ার সিরিজের ধারণা দিয়েছিলেন ।

পরিসংখ্যান (Statistics)

পরিসংখ্যান হলো এমন এক প্রকার গাণিতিক বিজ্ঞান যা মূলত তথ্য সংগ্রহ, বিশ্লেষণ, তথ্যের ব্যাখ্যা এবং তাকে সহজভাবে উপস্থাপন করার কাজ করে । মানবিক শাখা, বিজ্ঞান, সামাজিক বিজ্ঞান সহ আরও বহু ক্ষেত্রে পরিসংখ্যানের ব্যাপক প্রয়োগ লক্ষ্য করা যায় । প্রাপ্ত তথ্যসমূহকে বিশ্লেষণ করে তা থেকে সঠিক ও তথ্যসমৃদ্ধ সিদ্ধান্ত (Informed decision) নেওয়ার ক্ষেত্রে পরিসংখ্যানের ভূমিকা অপরিসীম । যেকোনো ধরনের গবেষণামূলক কাজের জন্য পরিসংখ্যান সম্পর্কে মৌলিক জ্ঞান থাকা অত্যন্ত জরুরি, তবে অনেক সময় জ্ঞাত বা অজ্ঞাতসারে পরিসংখ্যানের ভুল ব্যবহারও হয়ে থাকে ।

ইংরেজি ‘Statistics’ শব্দটির উৎপত্তি ঘটেছে ইতালিয়ান শব্দ ‘Statista’, লাতিন শব্দ ‘Statuss’ অথবা জার্মান শব্দ ‘Statistik’ থেকে । জার্মান ও লাতিন শব্দদুটির অর্থ হলো ‘রাষ্ট্র’, এবং ইতালিয়ান শব্দটির অর্থ হলো ‘রাষ্ট্রের কার্যাবলি’ । এর থেকেই স্পষ্ট বোঝা যায় যে, প্রাচীনকালে মূলত রাষ্ট্রীয় কাজকর্ম পরিচালনার উদ্দেশ্যেই পরিসংখ্যানের উদ্ভব ঘটেছিল । লোকসংখ্যা, জন্ম-মৃত্যুর হার, রাজ্যবাসীর হিসাব প্রভৃতি রাষ্ট্রীয় তথ্য সংরক্ষণের কাজেই এটি ব্যবহৃত হতো । পরিসংখ্যান সংক্রান্ত সমস্যাগুলি মূলত কোনো নির্দিষ্ট সমষ্টি বা গোষ্ঠীকে কেন্দ্র করে আবর্তিত হয় । ব্যবস্থাপনা যোগ্যতা বা তথ্যের প্রাপ্যতার উপর নির্ভর করে ওই সমষ্টির সকলকে নিয়ে বা তার একটি নির্দিষ্ট অংশকে চয়ন পদ্ধতির মাধ্যমে নির্বাচন করে বিশ্লেষণ করা হয় ।

কলনবিদ্যা (Calculus)

গণিতের যে শাখায় অসীম শ্রেণি, সমাকলন, অন্তরকলন এবং সীমা (limit) নিয়ে চর্চা করা হয়, তাকেই কলনবিদ্যা বা ক্যালকুলাস বলা হয় । লাতিন ভাষা থেকে আগত ‘ক্যালকুলাস’ শব্দটির আক্ষরিক অর্থ হলো ‘নুড়িপাথর’ । বর্তমান যুগে বিশ্ববিদ্যালয় স্তরের বহু পাঠ্যক্রমে ক্যালকুলাস একটি বাধ্যতামূলক বিষয় এবং স্যার আইজাক নিউটনকে এই বিদ্যার জনক হিসেবে বিবেচনা করা হয় ।

প্রকৌশলবিদ্যা ও বিজ্ঞানে ক্যালকুলাসের বিপুল ব্যবহার রয়েছে । প্রাথমিক বীজগণিতের সাহায্যে যে সকল বৃহৎ ও জটিল সমস্যার সমাধান করা যায় না, সেগুলি ক্যালকুলাস প্রয়োগ করে সহজেই সমাধান করা সম্ভব । বিশ্লেষণ গণিত এবং বিশ্লেষণী জ্যামিতির ভিত্তির ওপর ক্যালকুলাস প্রতিষ্ঠিত । সমাকলন এবং অন্তরকলন হলো ক্যালকুলাসের প্রধান দুটি শাখা । ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যগুলির মাধ্যমেই এই দুটি শাখা পরস্পরের সাথে গভীরভাবে সম্পর্কযুক্ত ।

অন্তরকলন (Differential Calculus)

অন্তরকলন বা অবকলন হলো গণিতশাস্ত্রের এমন একটি অংশ যেখানে কোনো নির্দিষ্ট রাশির পরিবর্তনের হার অন্য কোনো রাশির সাপেক্ষে আলোচনা করা হয় । অর্থাৎ, দুটি ক্রমবর্ধমান বা ক্রমহ্রাসমান রাশির মধ্যে যদি ফাংশনাল সম্পর্ক থাকে, তবে তাদের একটির সাপেক্ষে অপরটির পরিবর্তনের হার নির্ণয় করা এবং তার গাণিতিক তাৎপর্য বের করাই হলো অন্তরকলনের মূল লক্ষ্য । অন্যভাবে বললে, কোনো একটি ফাংশনের অন্তরকলজ খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াকেই অন্তরকলন (Differentiation) বলা হয় ।

প্রাচীনকাল থেকেই অন্তরকলনের বেশ কিছু ধারণা ভারতীয় গণিতবিদদের জানা ছিল । মাধবাচার্য, ভাস্করাচার্য প্রমুখ ভারতীয় গণিতজ্ঞরা পাই π-এর মান, সাইন (Sine)-এর অসীম শ্রেণি, রোলের উপপাদ্য ইত্যাদি আবিষ্কার করেছিলেন । পরবর্তীকালে অনেক গণিতবিদই একটি রাশির সূক্ষ্মাতিসূক্ষ্ম পরিবর্তনের ফলে অন্য রাশিটির কী পরিবর্তন ঘটে, অর্থাৎ একটির সাপেক্ষে অন্যটির পরিবর্তনের হার নিয়ে গভীরভাবে চিন্তাভাবনা করেন । এই চিন্তাভাবনার ফলস্বরূপ একসময় ঘনবস্তুর আয়তন বা বক্ররেখা দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে সমাকলন পদ্ধতির প্রয়োগ শুরু হয়েছিল । এই প্রায়োগিক আবিষ্কারের কৃতিত্ব যৌথভাবে জার্মান বিজ্ঞানী গটফ্রিড লাইবনিৎস এবং ইংরেজ বিজ্ঞানী স্যার আইজাক নিউটনের । সপ্তদশ শতকের শেষদিকে তাঁরা উভয়েই পরস্পর স্বাধীনভাবে এই পদ্ধতিটি আবিষ্কার করেন ।

প্রাথমিক টেট (WB TET) প্রস্তুতি: গণিত পেডাগজি ও গণিতের ইতিহাস (MCQ)

১. গণিতে নতুন আবিষ্কারের বৈধতা যাচাই করার জন্য কোন পদ্ধতির প্রয়োজন হয়?
ক) স্বজ্ঞামূলক পদ্ধতি
খ) বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি (Analytical approach)
গ) অবচেতন মানসিক প্রক্রিয়া
ঘ) আরোহী পদ্ধতি
🔥 উত্তর: খ) বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি (Analytical approach)
— ✦ —
২. প্রাচীন ভারতের কোন গ্রন্থে সর্বপ্রথম শূন্যকে (0) একটি পূর্ণাঙ্গ সংখ্যা হিসেবে মর্যাদা দেওয়া হয়েছিল?
ক) সুল্ব সূত্র
খ) আর্যভট্টীয়
গ) ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত
ঘ) কিতাব আল জারর
🔥 উত্তর: গ) ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত
— ✦ —
৩. গণিতবিদ থালেস (Thales) সর্বপ্রথম জ্যামিতিতে কোন ধরনের চিন্তন পদ্ধতির ব্যবহার করেছিলেন?
ক) অবরোহী চিন্তন (Deductive thinking)
খ) আরোহী চিন্তন (Inductive thinking)
গ) বিমূর্ত চিন্তন (Abstract thinking)
ঘ) ফলিত চিন্তন
🔥 উত্তর: ক) অবরোহী চিন্তন (Deductive thinking)
— ✦ —
৪. নিচের কোনটি ‘বিশুদ্ধ গণিত’ বা ‘মৌলিক গণিত’-এর (Pure Mathematics) শাখা নয়?
ক) টোপোলজি (Topology)
খ) বীজগণিত (Algebra)
গ) জ্যামিতি (Geometry)
ঘ) পরিসংখ্যান (Statistics)
🔥 উত্তর: ঘ) পরিসংখ্যান (Statistics)
— ✦ —
৫. কোন গণিতবিদ মাত্র পাঁচটি স্বতঃসিদ্ধের (Axioms) সাহায্যে জ্যামিতির সমস্ত উপপাদ্য প্রমাণের পথ দেখিয়েছিলেন?
ক) পিথাগোরাস
খ) রেনে দেকার্ত
গ) ইউক্লিড
ঘ) ডেভিড হিলবার্ট
🔥 উত্তর: গ) ইউক্লিড
— ✦ —
৬. বীজগণিতের প্রথম উদ্ভব ঘটেছিল কার হাত ধরে?
ক) আল-খোয়ারিজমি (Musa al-Khwarizmi)
খ) এভারিস্ত গালোয়া (Evariste Galois)
গ) নিল্স হেনরিক আবেল (Niels Henrik Abel)
ঘ) আর্থার কেলি (Arthur Cayley)
🔥 উত্তর: ক) আল-খোয়ারিজমি (Musa al-Khwarizmi)
— ✦ —
৭. ত্রিকোণমিতিতে \sin(a + b) এবং \sin(a – b)-এর সূত্র সর্বপ্রথম কে আবিষ্কার করেন?
ক) আর্যভট্ট
খ) মাধবাচার্য
গ) দ্বিতীয় ভাস্কর
ঘ) প্রথম ভাস্কর
🔥 উত্তর: গ) দ্বিতীয় ভাস্কর
— ✦ —
৮. গ্রহ-নক্ষত্রের অবস্থান বিচার করতে গিয়ে প্রাচীন মিশরে সর্বপ্রথম কে ‘ত্রিকোণমিতি’ বিদ্যার চর্চা শুরু করেন?
ক) হাবাস আল-হাসিব
খ) হিপারচুস (Hipparchus)
গ) আবু আবদুল্লাহ আল-বাতানি
ঘ) আবুল ওয়াফা আল-বুজানি
🔥 উত্তর: খ) হিপারচুস (Hipparchus)
— ✦ —
৯. সপ্তদশ শতাব্দীর শেষভাগে কোন দুজন বিজ্ঞানী স্বাধীনভাবে ‘কলনবিদ্যা’ বা সমাকলন ও অন্তরকলন পদ্ধতি আবিষ্কার করেন?
ক) গটফ্রিড লাইবনিৎস এবং রেনে দেকার্ত
খ) আইজাক নিউটন এবং কার্ল ফ্রিড্রিশ গাউস
গ) আইজাক নিউটন এবং গটফ্রিড লাইবনিৎস
ঘ) বের্নহার্ড রিমান এবং গটফ্রিড লাইবনিৎস
🔥 উত্তর: গ) আইজাক নিউটন এবং গটফ্রিড লাইবনিৎস
— ✦ —
১০. গণিতের যে শাখায় বস্তুর আকার, আকৃতি এবং জগৎ বা স্থান (Space) সম্পর্কিত আমাদের অভিজ্ঞতার বৈজ্ঞানিক ব্যাখ্যা দেওয়া হয়, তাকে কী বলে?
ক) পাটিগণিত
খ) পরিমিতি
গ) জ্যামিতি
ঘ) কলনবিদ্যা
🔥 উত্তর: গ) জ্যামিতি
— ✦ —
১১. স্বজ্ঞা (Intuition) হল মানুষের কোন মনে ঘটে যাওয়া কিছু ঘটনার একত্রিত রূপ?
ক) চেতন মনে
খ) অবচেতন মনে
গ) প্রাক-চেতন মনে
ঘ) অতি-চেতন মনে
🔥 উত্তর: খ) অবচেতন মনে
— ✦ —
১২. ‘Basic Mathematics’ বা মৌলিক গণিতের প্রধান বৈশিষ্ট্য কোনটি?
ক) বাস্তব জগতের সমস্যার সমাধান করা
খ) অসম্পূর্ণ তথ্য নিয়ে কাজ করা
গ) নিয়মানুগ এবং ন্যায়িক যুক্তির দ্বারা বিচার করা
ঘ) তথ্য সংগ্রহ ও বিশ্লেষণ করা
🔥 উত্তর: গ) নিয়মানুগ এবং ন্যায়িক যুক্তির দ্বারা বিচার করা
— ✦ —
১৩. ফলিত গণিত (Applied Mathematics) প্রধানত কোন বিষয়ের উপর বেশি জোর দেয়?
ক) গণিতের নিজস্ব বিকাশের প্রয়োজনীয়তা থেকে প্রাপ্ত সমস্যার উপর
খ) গাণিতিক বিজ্ঞানের বাইরে অন্যান্য ক্ষেত্র থেকে উত্থাপিত গাণিতিক সমস্যার উপর
গ) কেবলমাত্র গাণিতিক সূত্র প্রমাণের উপর
ঘ) জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কনের উপর
🔥 উত্তর: খ) গাণিতিক বিজ্ঞানের বাইরে অন্যান্য ক্ষেত্র থেকে উত্থাপিত গাণিতিক সমস্যার উপর
— ✦ —
১৪. ‘পাটিগণিত’ শব্দটি প্রাচীন গ্রিক শব্দ ‘arithmos’ থেকে এসেছে, যার অর্থ কী?
ক) গণনা
খ) পরিমাপ
গ) স্থান
ঘ) সংখ্যা (Number)
🔥 উত্তর: ঘ) সংখ্যা (Number)
— ✦ —
১৫. শূন্যের (0) ধারণা না থাকায় প্রাচীন গ্রিকরা সংখ্যাকে উপস্থাপনের জন্য কয় ধরনের পৃথক সেট ব্যবহার করত?
ক) দুই ধরনের
খ) তিন ধরনের
গ) চার ধরনের
ঘ) পাঁচ ধরনের
🔥 উত্তর: খ) তিন ধরনের
— ✦ —
১৬. কোন ফরাসি বিজ্ঞানী সর্বপ্রথম ‘অভিক্ষেপী জ্যামিতি’ (Projective Geometry) উদ্ভাবন করেন?
ক) গাসপার মোঁজ (Gaspard Monge)
খ) রেনে দেকার্ত (Rene Descartes)
গ) জেরার দ্যজার্গ (Gerard Desargues)
ঘ) ফেলিক্স ক্লাইন (Felix Klein)
🔥 উত্তর: গ) জেরার দ্যজার্গ (Gerard Desargues)
— ✦ —
১৭. ‘Statuss’ বা ‘Statistik’ শব্দগুলির অর্থ কী, যার থেকে পরিসংখ্যানের উৎপত্তি হয়েছে বলে মনে করা হয়?
ক) হিসাবনিকাশ
খ) রাষ্ট্র
গ) তথ্য বিশ্লেষণ
ঘ) জনসংখ্যা
🔥 উত্তর: খ) রাষ্ট্র
— ✦ —
১৮. কলনবিদ্যা বা ক্যালকুলাস (Calculus) শব্দটি লাতিন ভাষা থেকে এসেছে, যার অর্থ কী?
ক) ক্ষুদ্র কণা
খ) নুড়িপাথর
গ) অসীম
ঘ) পরিবর্তন
🔥 উত্তর: খ) নুড়িপাথর
— ✦ —
১৯. খ্রিস্টপূর্ব পঞ্চম থেকে দ্বিতীয় শতকের মধ্যে ভারতীয় গণিতবিদ পিঙ্গলা (Pingala) হিসাবনিকাশ করার জন্য কোন পদ্ধতির আবিষ্কার করেছিলেন?
ক) দশমিক সংখ্যা
খ) রোমান সংখ্যা
গ) বাইনারি সংখ্যা
ঘ) ভগ্নাংশ
🔥 উত্তর: গ) বাইনারি সংখ্যা
— ✦ —
২০. একটি যথাযথ সমাকলন-এর (Integral Calculus) গাণিতিক সংজ্ঞা কে প্রদান করেন?
ক) আইজাক নিউটন
খ) গটফ্রিড লাইবনিৎস
গ) বের্নহার্ড রিমান (Bernhard Riemann)
ঘ) আর্থার কেলি (Arthur Cayley)
🔥 উত্তর: গ) বের্নহার্ড রিমান (Bernhard Riemann)
— ✦ —

উপসংহার

আসন্ন পশ্চিমবঙ্গ প্রাথমিক টেট (WB Primary TET) পরীক্ষায় গণিত পেডাগজি (Math Pedagogy) অংশে ভালো স্কোর করার জন্য গাণিতিক চিন্তন এবং গণিতের ইতিহাসের এই মৌলিক বিষয়গুলি জানা অত্যন্ত জরুরি। উপরে দেওয়া ২০টি গুরুত্বপূর্ণ বহুনির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ) নিয়মিত অনুশীলন করলে পরীক্ষার্থীদের ধারণাগত ভিত্তি যেমন মজবুত হবে, তেমনই পরীক্ষার হলে অল্প সময়ে সঠিক উত্তর নির্বাচনে আত্মবিশ্বাস বাড়বে। নিয়মিত এমন গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর চর্চা করুন এবং আপনার প্রস্তুতিকে আরও খাঁটি করে তুলুন। আসন্ন পরীক্ষার জন্য সকল টেট পরীক্ষার্থীদের প্রতি রইল আন্তরিক শুভকামনা!