Get the ultimate WBCHSE Class 12 Math Semester 4 suggestion for Direction Cosines and Direction Ratios. বিস্তারিত সমাধানসহ ২, ৩ ও ৪ নম্বরের মোট ৪০টি গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নের ১০০% কমন গাইড।
সামনেই উচ্চ মাধ্যমিক ৪র্থ সেমিস্টার পরীক্ষা? ‘দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত’ (Direction Cosines and Direction Ratios) অধ্যায়টি নিয়ে চিন্তায় আছো? তোমাদের প্রস্তুতিকে আরও নিখুঁত করতে আমরা নিয়ে এসেছি ১০০% কমন সাজেশন। এই পোস্টে পশ্চিমবঙ্গ উচ্চ মাধ্যমিক শিক্ষা সংসদের নতুন সিলেবাস অনুযায়ী বাছাই করা মোট ৪০টি গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন ও তাদের ধাপে ধাপে বিস্তারিত সমাধান দেওয়া হয়েছে।
নিচে সাজেশনটির প্রশ্ন বিভাজনের একটি ছক দেওয়া হলো:
| বিভাগ | প্রশ্নের মান (নম্বর) | প্রশ্ন সংখ্যা |
|---|---|---|
| বিভাগ ক | ২ নম্বর (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন) | ২০ টি |
| বিভাগ খ | ৩ এবং ৪ নম্বর (বর্ণনামূলক প্রশ্ন) | ২০ টি |
| মোট | ৪০ টি |
পরীক্ষায় সম্পূর্ণ কমন পেতে এবং অঙ্কে নিজের আত্মবিশ্বাস বাড়াতে বিস্তারিত সমাধানসহ নিচের প্রশ্নগুলো আজই অনুশীলন শুরু করো।
দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
উচ্চ মাধ্যমিক গণিত – ১০০% কমনের জন্য সাজেশন
বিভাগ ক: ২ নম্বরের গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নাবলি (২০টি)
১. \( (4,-3,-1) \) ও \( (1,-1,5) \) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
ধরি, \( P(4,-3,-1) \) ও \( Q(1,-1,5) \) প্রদত্ত দুটি বিন্দু।
সংযোজক রেখার দৈর্ঘ্য \( \overline{PQ} = \sqrt{(4-1)^2+(-3+1)^2+(-1-5)^2} = \sqrt{9+4+36} = 7 \)।
\( \overline{PQ} \) এর দিক্ কোসাইনসমূহ হয় \( \frac{1-4}{7}, \frac{-1+3}{7}, \frac{5+1}{7} \) অর্থাৎ \( -\frac{3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{6}{7} \)।
২. \( 1/2, -1/\sqrt{2}, -1/2 \) সংখ্যা তিনটি কি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হতে পারে?
সমাধান দেখো
যদি \( l, m, n \) কোনো রেখার দিক্ কোসাইন হয়, তবে \( l^2+m^2+n^2=1 \) হতে হবে।
এখানে \( (1/2)^2 + (-1/\sqrt{2})^2 + (-1/2)^2 = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 \)।
যেহেতু বর্গের সমষ্টি ১, সুতরাং সংখ্যা তিনটি কোনো রেখার দিক্ কোসাইন হওয়া সম্ভব।
৩. কোনো সরলরেখার দিক্ কোণগুলি \( 30^\circ, 60^\circ \) ও \( 150^\circ \) হতে পারে কি?
সমাধান দেখো
দিক্ কোণ \( \alpha, \beta, \gamma \) হলে \( \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 \) হবে।
এখানে \( \cos^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 150^\circ = (\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 \)।
\( = 3/4 + 1/4 + 3/4 = 7/4 \neq 1 \)।
সুতরাং, এগুলি কোনো রেখার দিক্ কোণ হতে পারে হতে পারে না।
৪. \( 2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k} \) ভেক্টরের দিক্ কোসাইনসমূহ ও দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
ভেক্টরটির দিক্ অনুপাতসমূহ হলো 2, 3, 5।
রেখাংশের দৈর্ঘ্য \( \sqrt{2^2+3^2+5^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38} \)।
সুতরাং দিক্ কোসাইনসমূহ হবে \( \frac{2}{\sqrt{38}}, \frac{3}{\sqrt{38}}, \frac{5}{\sqrt{38}} \)।
৫. যে সরলরেখা অক্ষ তিনটির সঙ্গে সমান কোণে নত, তার দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
রেখাটি সমান কোণে নত হলে \( \alpha=\beta=\gamma \implies l=m=n=\cos\alpha \)।
আমরা জানি, \( l^2+m^2+n^2=1 \implies 3\cos^2\alpha=1 \implies \cos\alpha=\pm 1/\sqrt{3} \)।
সুতরাং দিক্ কোসাইনসমূহ হবে \( \pm 1/\sqrt{3}, \pm 1/\sqrt{3}, \pm 1/\sqrt{3} \)।
৬. yz-সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা ধনাত্মক z-অক্ষের সঙ্গে \( 60^\circ \) কোণে নত থাকলে দিক্ কোসাইনগুলি নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
সরলরেখাটি yz-সমতলে থাকায় x-অক্ষের ওপর লম্ব হবে, অর্থাৎ x-অক্ষের সাথে কোণ \( 90^\circ \)।
z-অক্ষের সাথে \( 60^\circ \) কোণে নত থাকায় y-অক্ষের সাথে \( 30^\circ \) কোণে নত হবে।
দিক্ কোসাইনগুলি হলো \( \cos 90^\circ, \cos 30^\circ, \cos 60^\circ \) বা \( 0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \)।
৭. কোনো সরলরেখা y ও z-অক্ষের ধনাত্মক অভিমুখের সঙ্গে যথাক্রমে \( 45^\circ \) ও \( 60^\circ \) কোণে নত থাকলে x-অক্ষের সাথে উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণ কত?
সমাধান দেখো
ধরি x-অক্ষের সাথে সূক্ষ্মকোণ \( \alpha \)।
\( \cos^2\alpha + \cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ = 1 \)।
\( \cos^2\alpha + 1/2 + 1/4 = 1 \implies \cos^2\alpha = 1/4 \)।
যেহেতু \( \alpha \) সূক্ষ্মকোণ, \( \cos\alpha = 1/2 \implies \alpha = 60^\circ \)।
৮. \( (3,2,3) \) এবং \( (-3,-1,5) \) বিন্দুগামী সরলরেখা z-অক্ষের সঙ্গে যে সূক্ষ্মকোণ করে তার মান নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
রেখাটির দিক্ অনুপাতগুলি হলো \( -6, -3, 2 \) এবং মান \( r = 7 \)।
দিক্ কোসাইনগুলি হলো \( -6/7, -3/7, 2/7 \)।
z-অক্ষের দিক্ কোসাইন \( 0, 0, 1 \)।
\( \cos\theta = |(-6/7)(0) + (-3/7)(0) + (2/7)(1)| = 2/7 \implies \theta = \cos^{-1}(2/7) \)।
৯. দুটি সরলরেখার দিক্ সংখ্যাগুলি \( 1,1,2 \) এবং \( \sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1, 4 \) হলে মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
প্রথম রেখার মান \( \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6} \)।
দ্বিতীয় রেখার মান \( \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2+(-\sqrt{3}-1)^2+16} = 2\sqrt{6} \)।
\( \cos\theta = \frac{|1(\sqrt{3}-1) + 1(-\sqrt{3}-1) + 2(4)|}{\sqrt{6} \times 2\sqrt{6}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)।
অতএব \( \theta = \pi/3 \)।
১০. \( 1, 2, 3 \) কি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হতে পারে?
সমাধান দেখো
দিক্ কোসাইন হতে গেলে তাদের বর্গের সমষ্টি ১ হতে হবে।
কিন্তু \( 1^2+2^2+3^2 = 14 \neq 1 \)।
তাই এরা দিক্ কোসাইন হতে পারে না।
১১. \( 1, 2, 3 \) কি কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ হতে পারে?
সমাধান দেখো
হ্যাঁ, যে কোনো তিনটি অশূন্য সংখ্যা একটি সরলরেখার দিক্ অনুপাত হতে পারে।
কারণ দিক্ অনুপাতের ক্ষেত্রে বর্গের সমষ্টি ১ হওয়ার কোনো শর্ত নেই।
১২. একটি সরলরেখার কোসাইন দিগঙ্ক \( (1/2, 1/3, n) \) হলে n-এর মান কত?
সমাধান দেখো
শর্ত অনুযায়ী, \( (1/2)^2 + (1/3)^2 + n^2 = 1 \)।
\( 1/4 + 1/9 + n^2 = 1 \implies 13/36 + n^2 = 1 \)।
\( n^2 = 1 – 13/36 = 23/36 \)।
\( n = \pm \sqrt{23}/6 \)।
১৩. একটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি \( 0, 1, -1 \) এর সমানুপাতিক হলে, x-অক্ষের সাথে তার নতি কত?
সমাধান দেখো
রেখাটির x-অক্ষ বরাবর দিক্ অনুপাত \( a=0 \)।
সুতরাং \( l = \cos\alpha = 0 / \sqrt{0+1+1} = 0 \)।
অতএব \( \alpha = 90^\circ \) বা \( \pi/2 \)।
১৪. zx-সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা z-অক্ষের সঙ্গে \( \pi/3 \) কোণে নত আছে। রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
zx-সমতলে থাকায় রেখাটি y-অক্ষের ওপর লম্ব, অর্থাৎ \( \beta = 90^\circ \implies m = 0 \)।
z-অক্ষের সাথে নতি \( \gamma = \pi/3 \implies n = \cos 60^\circ = 1/2 \)।
\( \cos^2\alpha + 0^2 + (1/2)^2 = 1 \implies \cos^2\alpha = 3/4 \implies l = \pm\sqrt{3}/2 \)।
দিক্ কোসাইনগুলি হলো \( \pm\sqrt{3}/2, 0, 1/2 \)।
১৫. xy-সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা y-অক্ষের সঙ্গে \( \pi/4 \) কোণে নত হলে, রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
xy-সমতলে অবস্থিত হওয়ায় এটি z-অক্ষের ওপর লম্ব, অর্থাৎ \( \gamma = 90^\circ \implies n = 0 \)।
\( \beta = \pi/4 \implies m = \cos 45^\circ = 1/\sqrt{2} \)।
\( \cos^2\alpha + 1/2 + 0 = 1 \implies l^2 = 1/2 \implies l = \pm 1/\sqrt{2} \)।
দিক্ কোসাইনগুলি হলো \( \pm 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0 \)।
১৬. O মূলবিন্দু এবং \( OP=3 \)। OP এর দিক্ অনুপাতগুলি \( -1, 2, -2 \) এর সমানুপাতিক হলে P এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
মান \( r = \sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2} = 3 \)। দিক্ কোসাইনসমূহ \( -1/3, 2/3, -2/3 \)।
স্থানাঙ্কের সূত্র \( (lr, mr, nr) \) ব্যবহার করে পাই:
\( P = (-1/3 \times 3, 2/3 \times 3, -2/3 \times 3) = (-1, 2, -2) \)।
১৭. \( (2,-1,4) \) ও \( (0,1,5) \) বিন্দুগামী সরলরেখার দিক্ কোসাইন নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
দিক্ অনুপাতগুলি হলো \( 0-2, 1-(-1), 5-4 \) বা \( -2, 2, 1 \)।
এর মান হলো \( \sqrt{(-2)^2+2^2+1^2} = 3 \)।
দিক্ কোসাইনগুলি হবে \( -2/3, 2/3, 1/3 \)।
১৮. একটি সরলরেখা y-অক্ষ এবং z-অক্ষের সাথে \( \pi/4 \) এবং \( \pi/3 \) কোণ উৎপন্ন করলে x-অক্ষের সাথে সূক্ষ্মকোণ কত?
সমাধান দেখো
সূত্রানুযায়ী, \( \cos^2\alpha + \cos^2(\pi/4) + \cos^2(\pi/3) = 1 \)।
\( \cos^2\alpha + 1/2 + 1/4 = 1 \implies \cos^2\alpha = 1/4 \)।
সূক্ষ্মকোণ হওয়ায় \( \cos\alpha = 1/2 \implies \alpha = \pi/3 \)।
১৯. কোনো সরলরেখার দিক্ কোণগুলি \( \alpha, \beta, \gamma \) হলে প্রমাণ করো \( \sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma = 2 \)।
সমাধান দেখো
আমরা জানি, \( \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 \)।
উভয়পক্ষে \( \cos^2\theta = 1-\sin^2\theta \) বসালে:
\( (1-\sin^2\alpha) + (1-\sin^2\beta) + (1-\sin^2\gamma) = 1 \)।
\( 3 – (\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma) = 1 \implies \sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma = 2 \)।
২০. দিক্ কোণ \( \alpha, \beta, \gamma \) হলে \( \cos 2\alpha+\cos 2\beta+\cos 2\gamma+\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma \) এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
আমরা জানি \( \cos 2\alpha = \cos^2\alpha – \sin^2\alpha \)।
মান বসালে, \( (\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+\sin^2\alpha) + \dots \)
\( = \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 \)।
বিভাগ খ: ৪ ও ৩ নম্বরের বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি (২০টি)
২১. \( A(4,-3,2), B(2,-1,-1) \) এবং \( C(7,-3,5), D(1,3,-4) \) বিন্দুগুলির সাহায্যে দেখাও যে AB সরলরেখা CD এর সমান্তরাল।
সমাধান দেখো
AB রেখার দিক্ অনুপাতগুলি হলো \( -2, 2, -3 \)।
CD রেখার দিক্ অনুপাতগুলি হলো \( -6, 6, -9 \)।
এদের অনুপাত নিলে পাই: \( \frac{-2}{-6} = \frac{2}{6} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \)।
যেহেতু দিক্ অনুপাতগুলি সমানুপাতিক, রেখা দুটি সমান্তরাল (প্রমাণিত)।
২২. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \( \vec{a}=-3\hat{i}+2\hat{j}+7\hat{k} \) এবং \( \vec{b}=3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k} \) হলে \( \vec{AB} \) এর দিক্ কোসাইন নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
\( \vec{AB} = \vec{b} – \vec{a} = 6\hat{i} + 2\hat{j} – 12\hat{k} \)।
\( |\vec{AB}| = \sqrt{6^2+2^2+(-12)^2} = \sqrt{184} \)।
দিক্ কোসাইনগুলি হলো \( \frac{6}{\sqrt{184}}, \frac{2}{\sqrt{184}}, -\frac{12}{\sqrt{184}} \)।
২৩. \( A(3,4,-1) \) ও \( B(4,a,2) \) গামী রেখা \( P(2,1,b) \) ও \( Q(4,-3,1) \) গামী রেখার সমান্তরাল হলে a ও b এর মান কত?
সমাধান দেখো
AB এর দিক্ অনুপাত: \( 1, a-4, 3 \)।
PQ এর দিক্ অনুপাত: \( 2, -4, 1-b \)।
সমান্তরাল হওয়ার শর্তে: \( 1/2 = (a-4)/-4 = 3/(1-b) \)।
প্রথম দুই অংশ থেকে \( a-4 = -2 \implies a=2 \)।
প্রথম ও শেষ অংশ থেকে \( 1-b = 6 \implies b=-5 \)।
২৪. দিক অনুপাতের সাহায্যে দেখাও যে \( (2,6,3) \), \( (1,2,7) \) এবং \( (3,10,-1) \) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
সমাধান দেখো
ধরি \( P(2,6,3), Q(1,2,7), R(3,10,-1) \)。 PQ এর দিক্ অনুপাত \( -1, -4, 4 \)।
PR এর দিক্ অনুপাত \( 1, 4, -4 \)।
যেহেতু অনুপাত সমানুপাতিক, রেখাদ্বয় সমান্তরাল। P সাধারণ বিন্দু হওয়ায় এরা সমরেখ।
২৫. A, B, C, D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( (2,3,-1), (5,2,3), (4,3,-5), (-2,1,-8) \) হলে CD এর ওপর AB এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
CD এর দিক্ অনুপাত \( -6, -2, -3 \) বা \( 6, 2, 3 \)।
CD এর দিক্ কোসাইন \( 6/7, 2/7, 3/7 \)।
লম্ব অভিক্ষেপ = \( |l(x_2-x_1)+m(y_2-y_1)+n(z_2-z_1)| \)
\( = |(6/7)(3) + (2/7)(-1) + (3/7)(4)| = 4 \) একক।
২৬. মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত রেখা OA ও OB এর দিক্ অনুপাত \( 0,2,1 \) এবং \( 1,-2,-2 \) হলে AOB তলের অভিলম্বের দিক্ কোসাইন নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
অভিলম্বের দিক্ কোসাইন \( l, m, n \) হলে, \( 2m+n=0 \) এবং \( l-2m-2n=0 \)।
বজ্রগুণন করে পাই \( l/-2 = m/1 = n/-2 = \pm 1/3 \)।
অতএব দিক্ কোসাইন \( \pm(-2/3, 1/3, -2/3) \) বা \( \pm(2/3, -1/3, 2/3) \)।
২৭. \( B(1,4,6) \) এবং \( C(5,4,4) \) বিন্দুর সংযোজক রেখার ওপর \( A(1,2,1) \) থেকে অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
ধরি D পাদবিন্দু যা BC কে \( \lambda:1 \) অনুপাতে বিভক্ত করে। D এর স্থানাঙ্ক \( ((5\lambda+1)/(\lambda+1), \dots) \)।
BC এর দিক্ অনুপাত 4, 0, -2। AD লম্ব BC শর্তে গুণফল 0 হবে।
\( 4(4\lambda) + 0 – 2(3\lambda+5) = 0 \implies 10\lambda = 10 \implies \lambda=1 \)。
অতএব D বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (3,4,5) \)।
২৮. \( A(1,4,2), B(-2,1,2), C(2,-3,4) \) ত্রিভুজের কোণগুলি নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
বাহুগুলির দিক অনুপাত বের করতে হবে। AB: -3, -3, 0। BC: 4, -4, 2। CA: -1, 7, -2।
\( \cos B = \frac{1(2) + 1(-2) + 0(1)}{\dots} = 0 \implies B = \pi/2 \)।
অনুরূপভাবে অন্য কোণগুলি \( \cos^{-1}(-1/\sqrt{3}) \) এবং \( \cos^{-1}(\sqrt{2/3}) \)।
২৯. দেখাও যে, \( A(2,3,1), B(-2,2,0), C(0,1,-1) \) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি সমকোণী।
সমাধান দেখো
AB এর দিক্ অনুপাত \( -4, -1, -1 \)। BC এর দিক্ অনুপাত \( 2, -1, -1 \)।
CA এর দিক্ অনুপাত \( 2, 2, 2 \)।
BC এবং CA এর দিক্ অনুপাত গুণ করলে \( 2(2) + (-1)(2) + (-1)(2) = 0 \)।
যেহেতু গুণফল 0, তাই রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব, অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমকোণী।
৩০. দুটি পরস্পর লম্ব সরলরেখার দিক্ কোসাইন \( l_1, m_1, n_1 \) ও \( l_2, m_2, n_2 \) হলে প্রমাণ করো লম্ব রেখার দিক্ কোসাইন \( \pm(m_1 n_2 – m_2 n_1), \dots \) হবে।
সমাধান দেখো
ধরি লম্ব রেখার দিক্ কোসাইন \( l, m, n \)। শর্তানুযায়ী \( l l_1+m m_1+n n_1=0 \) এবং \( l l_2+m m_2+n n_2=0 \)।
বজ্রগুণন করে পাই \( l/(m_1 n_2 – m_2 n_1) = m/(n_1 l_2 – n_2 l_1) = n/(l_1 m_2 – l_2 m_1) = k \)।
লাগ্রাঞ্জের অভেদ ব্যবহার করে পাওয়া যায় \( k^2=1 \implies k=\pm 1 \)।
অতএব লম্ব রেখার দিক্ কোসাইন \( \pm(m_1 n_2 – m_2 n_1) \) ইত্যাদি (প্রমাণিত)।
৩১. দেখাও যে, দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনগুলি \( 2l-m+2n=0 \) এবং \( mn+nl+lm=0 \) সিদ্ধ করলে তারা পরস্পর লম্ব হবে।
সমাধান দেখো
প্রথম সমীকরণ থেকে \( m=2(l+n) \) দ্বিতীয় সমীকরণে বসালে \( 2l^2+5nl+2n^2=0 \) পাওয়া যায়।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে \( l=-2n \) বা \( l=-n/2 \)।
দিক অনুপাতসমূহ \( 2, 2, -1 \) এবং \( -1, 2, 2 \)।
এদের গুণফল \( 2(-1) + 2(2) + (-1)(2) = 0 \), তাই এরা পরস্পর লম্ব।
৩২. দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনগুলি \( l-5m+3n=0 \) এবং \( 7l^2+5m^2-3n^2=0 \) সিদ্ধ করলে তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
\( l=5m-3n \) দ্বিতীয় সমীকরণে বসালে \( 6m^2-7mn+2n^2=0 \) পাওয়া যায়।
এখান থেকে \( m=2n/3 \) বা \( m=n/2 \) পাওয়া যায়।
দিক্ অনুপাতসমূহ \( 1, 2, 3 \) এবং \( -1, 1, 2 \)।
\( \cos\theta = \frac{1(-1)+2(1)+3(2)}{\dots} = \frac{7}{2\sqrt{21}} \)。
৩৩. প্রমাণ করো যে, একটি ঘনকের দুটি কর্ণের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান \( \cos^{-1}(1/3) \) হবে।
সমাধান দেখো
ঘনকের একটি কৌণিক বিন্দু মূলবিন্দু (0,0,0) ধরলে OP এবং AQ দুটি কর্ণ হবে।
OP এর দিক্ কোসাইন \( 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3} \)。
AQ এর দিক্ কোসাইন \( -1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3} \)。
এদের মধ্যবর্তী কোণ \( \cos\theta = |(1/3) – (1/3) + (1/3)| = 1/3 \implies \theta = \cos^{-1}(1/3) \)।
৩৪. একটি সরলরেখা ঘনকের চারটি কর্ণের সাথে \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) কোণ উৎপন্ন করলে প্রমাণ করো \( \sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma+\sin^2\delta = 8/3 \)।
সমাধান দেখো
সরলরেখাটির দিক্ কোসাইন \( l, m, n \) ধরলে \( \cos\alpha = (l+m+n)/\sqrt{3} \) ইত্যাদি।
এগুলো বর্গ করে যোগ করলে \( \cos^2\alpha+\dots = 4/3 \) পাওয়া যায়।
\( \cos^2 \) এর জায়গায় \( 1-\sin^2 \) বসালে, \( 4 – \sum\sin^2\alpha = 4/3 \)।
অতএব \( \sum\sin^2\alpha = 4 – 4/3 = 8/3 \) (প্রমাণিত)।
৩৫. \( A(4,5,0), B(2,6,2), C(2,3,-1) \) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
\( \vec{AB} \) এর দিক্ অনুপাত -2, 1, 2। এর মান 3। দিক্ কোসাইন \( -2/3, 1/3, 2/3 \)।
\( \vec{BC} \) এর দিক্ অনুপাত 0, -3, -3। এর মান \( 3\sqrt{2} \)。 দিক্ কোসাইন \( 0, -1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2} \)।
৩৬. দেখাও যে, \( A(0,1,2), B(2,-1,3), C(1,-3,1) \) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান দেখো
AB, BC, CA বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান পাওয়া যাবে, যা সমদ্বিবাহু প্রমাণ করে।
বাহুগুলির দিক অনুপাতের গুণফল শূন্য হবে, যা লম্ব প্রমাণ করে।
৩৭. \( (4,-3,2) \) ও \( (3,-1,5) \) সংযোজক রেখা \( (k,-2,1) \) ও \( (7,3,-2) \) সংযোজক রেখার ওপর লম্ব হলে k এর মান কত?
সমাধান দেখো
প্রথম রেখার দিক অনুপাত \( -1, 2, 3 \)।
দ্বিতীয় রেখার দিক অনুপাত \( 7-k, 5, -3 \)।
লম্ব হওয়ার শর্তে \( -1(7-k) + 10 – 9 = 0 \)。
\( k – 7 + 1 = 0 \implies k = 6 \)।
৩৮. দিক্ সংখ্যার সাহায্যে দেখাও যে \( P(4,7,8), Q(2,3,4), R(-1,-2,1), S(1,2,5) \) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান দেখো
PQ এবং SR এর দিক্ অনুপাত সমান হবে।
QR এবং PS এর দিক্ অনুপাতও সমান হবে।
দিক্ অনুপাত সমান হওয়ায় বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল, তাই এটি একটি সামান্তরিক।
৩৯. দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইন \( l+m+n=0 \) এবং \( l^2+m^2-n^2=0 \) সিদ্ধ করলে মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।
সমাধান দেখো
প্রথম সমীকরণ থেকে \( n = -(l+m) \) দ্বিতীয় সমীকরণে বসাই।
\( l^2+m^2-(l+m)^2 = 0 \implies -2lm = 0 \implies l=0 \) অথবা \( m=0 \)。
দিক অনুপাতগুলি ব্যবহার করে কোণের মান \( \pi/3 \) পাওয়া যাবে।
৪০. দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইন \( al+bm+cn=0 \) এবং \( mn+nl+lm=0 \) সিদ্ধ করলে, রেখাদ্বয় সমান্তরাল হওয়ার শর্ত প্রমাণ করো \( a+b+c=0 \)。
সমাধান দেখো
সমীকরণ থেকে একটি চলক অপনয়ন করে দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করতে হবে।
রেখা দুটি সমান্তরাল হলে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল দুটি সমান হবে।
নিরূপক শূন্য ধরলে শর্তটি আসবে \( a+b+c=0 \)।
📚 নিয়মিত এই ধরনের কুইজ এবং স্টাডি মেটেরিয়ালস পেতে আমাদের সাথে যুক্ত হোন 👇
Join Now
